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» Exemples. — I. Soit M un point libre de niasse i , mobile dans le plan 

 xOj, et soumis à la force X = {x+y)v-, \ = {x — y)v-, (y" — x'- -h y''); 

 ce système comporte les mouvements 



(i) a7 = sin[log(f, -0]. J'-=cos[log(/, -/)]. 



)) II. Soit M un point libre soumis à la force X = ^-=^> Y = — ^^■> 



Z = 2; le système comporte les mouvements définis par (i)et :; = (l — t^y. 

 » III. Soient M, M, deux points de masse égale à i, soumis aux forces 



X z= X, = ~^'^;^'^\ Y = Y, == ;^^> r désignant la distance MM,. Ce 



système comporte le mouvement défini par ( 1 ) et par x^^= x + t^ — t, 

 y^ = j. Quand / tend vers t^ , r tend vers zéro, mais M, M, ne tendent vers 

 aucune position limite. 



» D'une manière générale, on serait porté à croire que les équations de 

 Lagrange qui présentent cette singularité sont tout à fait exceptionnelles. 

 C'est le contraire qui est vrai, et cela à cause de la forme même des équations 

 de la Dynamique. Par exemple, l'équation de Lagrange à un paramètre 



(2) x"^k{x)x'- + li{x), 



où les k{x), B(a;) sont deux fonctions algébriques de x, est affectée en 

 général de telles singularités, tandis que ces singularités ne sauraient 

 exister pour une équation (2) dont le second membre serait un polynôme 

 en x' de degré plus grand que 2. 



» On pourrait penser, il est vrai, que ces singularités ne se rencontrent 

 jamais dans les problèmes naturels, puisqu'un système matériel occupe 

 toujours, à un instant donné, une position déterminée. L'objection ne 

 serait fondée que si les formules correspondaient rigoureusement à la 

 réalité. A ce compte, deux points matériels s'atiirant suivant les lois de 

 Newton ne devraient jamais se rencontrer, parce que la vitesse d'un élément 

 de matière ne saurait devenir infinie. Ce qui est vrai, si pour t =^t^ les 

 fonctions x^^t) sont indéterminées, c'est que S, avant l'instant t,, passe 

 par un état où les hypothèses et les lois de force, qui ont permis de mettre 

 le problème en équation, cessent d'être suffisamment exactes; mais S 

 n'atteint cet état qu'après une période d'aboiement d'aulunl plus accentuée 

 que ces hypothèses et lois sont plus près de la réalité. Il y a donc le plus 

 grand intérêt à reconnaître, sur un système d'équations de Lagrange 

 donné, si ces singularités existent ou non. Si l'on montre qu'elles existent, 

 on met en évidence la particularité la plus remarquable du mouvement; 

 si l'on montre qu'elles n'existent pas, on est certain de pouvoir suivre indé- 



