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 sujet de ces combinaisons intégrables, im certain nombre de propositions 

 qui peuvent en faciliter la recherche. 



1) L'équation du second ordre étant mise sous la forme 



(i) r-h/{x, Y, z. p, q, s, t) :=o, 



employons la notation 



Pik 



dx'dy''' 



l'équation (i) et celles qu'on en déduit par des différentiations successives 

 permettent d'exprimer toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue 

 au moyen des dérivées partielles p^,, où l'indice i a l'une des valeurs o,i. 

 Soient m, m' les deux racines de l'équation 



, , „ Of ùf 



les équations différentielles de l'un des systèmes de caractéristiques 

 d'ordre n sont les suivantes : 



dy = m dx, dz = j) , „ dx -+- /j» i dy, 



dps^^-^p-.ç.dx-^-p^.dy, . ., dp,„_, = p.,„^.,dx-hp,^„^,dy, 



(i) \ dpo, =/;, , dx-hp„., dy, ..., dp^_,,_^ =p,,,-, dx + p^_„ dy, 



le second système se déduisant du premier, en permutant m et m' . Dans 

 ces équations, on doit supposer qu'on a exprimé toutes les dérivées par- 

 tielles au moyen de x, y, z, p^^, /;,,, .... p,,,,-, ;/%,,, Po.^- • ■ • . Pa.n^ 

 (■ '\zi ) désigne le résultat de n — i différentiations successives par rapport 



à y, abstraction faite des termes qui contiennent les dérivées d'ordres 4- i . 



» Si des équations (3) on peut déduire une combinaison intégrable 

 du = o, nous dirons, pour abréger, que u est un invariant du système de 

 caractéristiques considéré. Tout invariant doit satisfaire à un système de 

 deux équations linéaires du premier ordre faciles à former; en faisant suc- 

 cessivement n= 2, 3, 4. •••. on obtient une suite illimitée de systèmes 

 d'équations linéaires, dont chacun admet toutes les solutions du précédent. 



» 2. Cela posé, supposons d'abord que les deux racines m, m de l'é- 

 quation (2) soient distinctes. On a les propriétés suivantes : 



» 1° Lorsque n > 2, il y a au plus un invariant indépendant d'ordre n. 



