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c'est-à-dire que tous les invariants d'ordre n. s'il en existe, s'expriment au 

 moyen de l'un d'entre eux et d'invariants d'ordre inférieur. Le théorème 

 subsiste pour les invariants du second ordre, si l'équation est linéaire en 

 r, s, t, ri — s- . 



M 1° Le nombre des invariants distincts d'ordre égal ou inférieur à n 

 est au plus égal à n + i; pour que cette limite soit atteinte, il faut, et il suffit 

 que l'équation du second ordre possède une intégrale intermédiaire du premier 

 ordre avec deux constantes arbitraires V(,r, y, z, p, q, a, b) = o. Il y a alors 

 trois invariants distincts du premier ou du second ordre, un du troisième 

 ordre, un du quatrième ordre, etc. 



» 3° Si u et i> sont deux invariants distincts, toutes les intégrales de 

 l'équation (i) satisfont à l'équation 



o. 



, , , c/c du . de du , . . ,. 



ta valeur commune des rapports -,- : -r- i et -^ : -j- est un nouvel invariant dis- 



' ' dx dx dy dy 



tinct des premiers, que nous désignerons par j-- De deux invariants ;< et c, 



on peut ainsi en déduire un nombre illimité. 



» 4" S'il existe plus d'un invariant, on peut en choisir deux, u et v, de 

 telle façon que tous les invariants s'expriment au moyen de ceux qui sont 

 compris dans la suite 



u, V 



du 





t) — 



dVn 



du 



» 3. Lorsque les deux racines m, m' de l'équation (2) sont égales, les 

 résultats sont tout différents. Pour qu'il existe un invariant d'ordre 

 n, (n'^i), il est nécessaire que les équations linéaires auxquelles doit sa- 

 tisfaire cet invariant forment un système complet, et la condition pour 

 qu'il en soit ainsi est toujours la môme, quel que soit l'ordre de l'invariant. 

 On ne trouve de celte façon que deux types d'équations du second ordre, 

 ayant leurs deux systèmes de caractérisliques confondus, auxquelles s'ap- 

 plique la méthode de M. Darboux : 



)) i" Les équations bien connues, qui sont réductibles à la forme r = o 

 par une Iransiormalion de contact ; 



» -i" Une classe beaucoup plus étendue d'équations que j'ai déjà étu- 



