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diées il y a quelques années (') et dont l'intégrale générale est représentée 

 par un système de deux équations de la forme suivante : 



I F[.r, r, z,a,'D{a), <!^'{a), ■\i{a)] = o, 



(4) ^F , âF ,, . , dF „, . ÙV .,, . 



\ aa 0(^{a) t \ ^ ô'a'{a) r ^ ^ (J<\i{(i) ' ^ ^ 



où a est un paramètre variable, ç et (jj deux fonctions arbitraires. 



)) Ce sont, par conséquent, les seules équations du second ordre dont 

 l'intégrale générale appartienne à la première classe d'Ampère et oi!i les 

 fonctions arbitraires dépendent d'un même argument. » 



ARITHMÉTIQUE. — Formes linéaires des diviseurs de x- dz A. 

 Note du P. Pépin. 



« 1. M. de Jonquières a communiqué récemment à l'Académie, une 

 étude intéressante sur les racines primitives et secondaires des nombres 

 premiers. Il termine cette étude par trois théorèmes d'induction, qui, 

 ainsi que M. l'Amiral l'a remarqué dans une Note subséquente, peuvent 

 se démontrer au moyen de la théorie des diviseurs de x'^ — A exposée 

 dans les Disquisiliones de Gauss. Comme il résulte du théorème de 

 Fermât que les racines primitives d'un nombre premier/? satisfont à la 



congruence 



A ^ ^s — I (mod. p). 



tandis que les résidus quadratiques satisfont à la congruence opposée, il 

 est impossible que A soit racine primitive d'un diviseur premier de x"^ — A. 

 Par conséquent, les formes linéaires des nombres premiers dont A est ré- 

 sidu quadratique ne renferment aucun nombre premier dont le nombre A 

 soit racine primitive. On obtient les trois théorèmes de M. de Jonquières 

 en construisant les formes linéaires des nombres premiers dont 2,3 et 5 

 sont résidus quadratiques. La méthode exposée par Gauss dans les Articles 

 indiqués repose sur son théorème fondamental, c'est-à-dire sur la loi de 

 réciprocité de Legendre. Je me propose de démontrer les inductions de 

 M. de Jonquières par une méthode indépendante de cette loi. 



» 2. Ma démonstration repose sur ces trois théorèmes de Lagrange : 

 » I. Tout diviseur D de la formule p- + Jiq- peut être représenté par une 



(') Comptes rendus, l. CXIl; 19 mal 1891. Acta inatheiiialiea , t. XIX. 



