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forme 



y.x' -+- 2^jxy -h YJV" = (oc, ê, y), 



dont les coefficieiUs vérifient la condition ay — 6- = «. 



» II. Toutes les/ormes (a, ê, y) qui satisfont à la condition xy — ê" := /i se 

 ramènent à des formes équivalentes (f ± g, à), dans lesquelles 2.g ne sur- 

 passe ni /, ni h ; on a, par conséquent, g<i\/ '~T~ ' 



» III. Si p est un nombre premier et que l'on ait 



X et ç étant des polynômes entiers en x, l'un du degré m, l'autre du 

 degré n, la congruence X^o (mod. p) aura m racines, et la congruence 

 ^^o (mod. p^ aura n racines. 



» 3. Caractères quadratiques des nombres 2 et — 2. — -En appliquant le 

 théorème II, on reconnaît que les formes (oc, ê, y) qui satisfont à la con- 

 dition »-y — ê^ = 2 sont équivalentes à la forme p"^ -+- 2^*, et celles qui vé- 

 rifient l'équation ay — ê" = — 2, à la forme /r — 2q'-. Il résulte de là, par 

 application du théorème I, que tout diviseur premier de a;^ -f- 2 est de la 

 forme p- -\- -iq' , et tout diviseur premier de x'- — 1, de la forme p- — iq"^. 

 Or, si l'on réduit suivant le module 8 les deux formes /5'-±: iq', on trouve 

 que les nombres impairs /?^+ 217- sont de l'une des deux formes 8^-+(i,3), 

 et les nombres impairs />^ -f- iq", de l'une des deux formes 8/î: -j- (r, 7). De 

 plus, tous les nombres impairs sont compris dans la formule 8/î:+(i , 3, 7,0). 

 Comme la forme %k + 5 ne convient à aucune des formes quadratiques 

 /j'-± ^q"^, nous concluons : 



» 1" Les nombres 2 et — 2 sont non-résidus quadratiques des nombres 

 premiers 8/-1- 5. 



» Les nombres premiers %k + Çi,^) sont nécessairement diviseurs de 

 l'une des deux formules x-± 2, et non-diviseurs de l'autre. Or, la forme 

 B/t-i- 7 étant incompatible avec la forme p' -\- iq'' , on conclut que tout 

 nombre premier 8X- + 7 est non-diviseur de x- + n; donc, il est diviseur 

 de X- — 2. De même, tout nombre premier 8A-I-3 est non-diviseur de 

 X- — 2, et, par conséquent, il est diviseur de a?- -j- 2. On conclut de là : 



» 2" 2 est résidu et — 2 non-rcsidu quadratique de tout nombre pre- 

 mier SA- 4- 7. 



» 3° 2 est non-résidu et — 2 résidu de tout nombre premier 8/t -h 3. 



» Il ne reste que la forme 8/- -t- 1 , pour laquelle il faut démontrer qu'elle 

 ne renferme aucun nombre premier dont 2 soit non-résidu quadratique. 

 On y parvient par le théorème III. 



