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» Soit c = Sk 4- I un nombre premier; r''^' — i = x*'' — i est divisible 

 algébriquement par a?" 4- i. On conclut du théorème III que la congruence 



x'' -f- I = (a;^ -1- i)- — ix-^ o (mod. c) 



admet quatre racines non équivalentes suivant le module c. Le nombre a 

 est donc résidu quadratique de c. Donc : 



» 4° 2 et — 2 sont résidus quadratiques des nombres premiers 8X + i. 



» On voit par là que 2 est résidu quadratique de tous les nombres pre- 

 miers renfermés dans la formule 8X + (i, 7), ou encore dans la formule 

 équivalente 9.l[k + (t, 7, 17, 23). 



w Par conséquent, le nombre 2 n'est jamais racine primitive d'un 

 nombre premier renfermé dans cette formule. Ce qui justifie la première 

 induction de M. de Jonquières. 



» 4. Caractères quadratiques des nombres 3 et — 3. — En appliquant le 

 théorème II, on trouve que toutes les formes quadratiques du déterminant 

 €^ — «Y = -4- 3 sont équivalentes respectivement aux deux formes réduites 

 àz (p^ — iq'-), et celles du déterminant — 3 aux deux formes p- + 3q-, 

 2p- 4- 2pq -+- 2q^. 



>) On déduit de là, en appliquant le théorème I, que les diviseurs pre- 

 miers de a:^ — 3 sont de l'une des deux formes ± (p- — 3 y-) et ceux de 

 œ^ ■+- ?> de la forme p'-\- 3q-. Or, en réduisant ces formes suivant le mo- 

 dule 12, on trouve que les nombres impairs ± (p" — 3^-) sont des formes 

 linéaires i2A + (i,ii), et les nombres impairs p--h3q^, des formes 

 11k -\- (1,7). Comme la forme 12^4-5 ne correspond à aucune de ces 

 formes, on conclut : 



i> i''3 et — 3 sont non-résidus quadratiques de tous les nombres pre- 

 miers 12^4- 5. 



» Pour les deux formes 12 i -h ']('], ti), les nombres premiers de la 

 forme 4^4-3 étant nécessairement diviseurs de l'une des deux formes 

 x-± n ei. non-diviseurs de l'autre, on déduit de ce qui précède : 



» '" 3 est résidu quadratique et — 3 non-résidu de tout nombre premier 

 12/f -I- 1 1 ; 



» 3° 3 est non-résidu et — 3 résidu quadratique de tout nombre pre- 

 mier 12^4- 7. 



» Il ne reste à examiner que la forme 12k 4- i, et démontrer qu'elle ne 

 renferme aucun nombre premier dont 3 soit non-résidu quadratique. 



» Soit c =^ 6m 4- I un nombre premier. Le polynôme .r- -t- a: -+- i est di- 

 viseur de a-'' ' — I = x^"' — I. ()n conclut du théorème III qu'il satisfait à la 



