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 iMx deux formes rcdiiitcs (i, o, .)), (2, i,3), et, en réduisant ces deux 

 formes siii\anl le module 20, on trouve, pour les nombres impairs, 



/)- + 5q-— 20X-1- (i, 9), ip- -+- 2pg -+- 3*7-= 2o/- + (3, 7). 



» Donc, les noniLies premiers, diviseurs âex- ■+- 5, sont tons renfermés 

 dans la formule 20A + (r, 3, 7, 9). En joignant celle conclusion à la pré- 

 cédente et observant que les deux formes 2oA + (i3, 17) ne figurent ni 

 parmi les <liviseurs i\ep-—5r/-, ni parmi ceux de p--\-5q'-, nous con- 

 statons que : 



» i" 5 et — 5 sont non-résidus quadratiques des nombres premiers 

 ■20k -I- (i3, 17); 



» 2" 5 est résidu et — 5 non-résidu des nombres premiers 20/- -H (11,19); 



» 3° 5 est non-résidu et — .^ résidu des nombres premiers 2oX:4-(3, 7). 



» Il reste les deux formes 2o>t -1- (i , 9) pour lesquelles il faut démontrer 

 qu'elles ne renferment aucun nombre j)remier donl *> soit non-résidu qua- 

 dratique. 



M 6. Pour la forme 2oA.' -|- i, on rcmarq\ie que le polynôme iC""* — i est 

 algébriquement divisible par (o;^ — 1) :(x — i) = ,r' + a:' -l- a;- -1- .r -t- i . 

 Si donc 20/- -1- I est un nombre premier r, on aura la congruence 



x"'* — I = X(x^ -\- x' -h X- -h X -{- i) ^^ Q (mod. c), 



dans laquelle X désigne un polynôme en a* du degré 20^* — 4, et, en appli- 

 quant le théorème lll à celte formule, on conclut que la congruence 



/i(x^ -+- .t'-i- X- -h X -h i) ^ (2>r- 4- a- -+- 2)* — ^x" 



admet quatre racines non équivalentes suivant le module c. Le nombre îi 

 est donc résidu quadratique de tout nombre premier de la forme 20/r -+- r. 



» Pour la forme 20k -h 9, il faut recourir aux entiers complexes. Nous 

 établirons pour cela un tliéorème applicable à tout nombre premier impair. 



» 7. Soit n lin nombi'e pixniier impair el c= 2//1 — 1 un aulre noinlne 

 premier. Désignons par p,q, a Irais nombres entiers, premiers avec c, dont 

 le troisième, a, résidu quadrali(jue de c, vérifie la congruence 



<■— 1 

 a ' ^— i (mode). 



» On aura par la formule du binôme, en ayant égard au théorème de 



Fermai, 



<■ — 1 



ip-hr/say^p' — q'^ri ' y^'à -h cV{p, qy/â) 

 --= p — q\a-\- cV, (p, q\la). 



