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 il existait une inlinité de systèmes de m fonctions 



A^-\ ?(^) '\{^-) 



uniformes dans tout le plan, n'ayant que des discontinuités polaires, et 

 jouissant des pro|>riétés suivantes : elles admettent une période 12, et l'on 

 a, par le changement de s en s + Î2', 



/(. + o':)= R.i/(.).cp(=) .K=)], 



o(=-4-i2')= Rj/(2),(p(5) '\{z% 



» Pour établir ce résultat, nous avons supposé que la substitution bira- 

 tionnelle (i) était générale, c'est-à-dire il n'y avait pas entre ses coefficients 

 certaines relations particulières. Nous avons d'abord admis, ce qui arrive 

 en général, qu'on peut préparer la substitution (i) de telle manière que 

 les R s'annulent pour ?< = (^ = . . . = hp = o. Ou peut alors supposer que le 

 dénominateur commun des R, ordonné suivant les puissances croissantes 

 des variables, a un pour premier terme; nous considérous ensuite les 

 racines de l'équation servant à réduire à la forme canonique les termes 

 du premier degré dans les lumiérateurs des R, et soit 



cette forme canonique. Notre analyse suppose (nous posons, comme on 

 peut le faire, £2 = o//, £2' = (o, en désignant par w et w' des quantités réelles 

 positives) que l'on n'a pas 



/étant un des nombres 1.2 m, pour aucune valeur |)ositive ou néga- 

 tive de l'entier v, et non plus 



m 



2V7HO 



» Ces restrictions iXinégalilcs peuvent être levées, et dans tous les cas on 

 peut trouver des transcendantes jouissant des propriétés indiquées. 



» Je n'entrerai pas ici dans le détail de la discussion ; je veux seulement 

 montrer comment on peut tourner la principale difficulté qui se présente. 

 Il résulte des considérations employées (/oc. cit.') que l'on est ramené à la 

 recherche de fonctions àe f(^z), ç(z), . . . , ({/(s) uniformes à droite de l'axe 



