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 des 7 (z = a; + «y ), admettant la période w'/, et satisfaisant aux relations 



/ /(^ + co) = ,., /(,.) + Q, [/(=), ç(s), . . . , ^(z)\, 

 ).^(= + co) = ;., o(-)+ Qj/(^),?(s)....,.K--)], 



(-) 



K. + o.) = ;.„, .K:^) + Q,4/(--). ?(^)- • • • . 'K=)]. 



les Q étant des polynômes en /, «p, ...,<]/ ne contenant pas de termes con- 

 stants ni de termes du premier degré. Lorsqu'on a 



2V7r(i> 



on ne peut plus effectuer la série des approximations successives qui me 

 servent à établir l'existence des fonctions/, cp, . . . , à. Cette difficulté, qui 

 au premier abord paraît réelle, peut facilement être levée de la manière 

 suivante : 



» Soit >^(3) une fonction doublement périodique de seconde espèce aux 

 multiplicateurs i et a (en désignant par a une constante quelconque), telle 

 par conséquent que 



l(z -{- <si'i) = k(z), 1(z -h lo) —al{:-). 



» Posons 



/(.) = l{z) V(z), >^{z) = ■K{z)^{z), ..., ^(z) = X(z) W(z), 



on aura 



1 n- + -) = ï l'X--) + >•(=) p. [F(-). H^) ^^i^), H^)h 



(3) 



» Les équations (3) sont de la même forme que les équations (2), sauf 

 que )^(3) y figure, ce qui n'est d'aucune importance pour l'emploi des 

 approximations successives. Mais les multiplicateurs sont devenus 



et, comme a est arbitraire, nous n'avons plus de multiplicateurs singuliers; 

 la difficulté signalée a donc disparu. » 



