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ANALYSE MATHÉMATIQUE . — Sur les séries de Taylor. Note de M. Emile Iîorel, 



présentée par M. Picard. 



« J'ai indiqué récemment dans les Comptes rendus (5 octobre 1896) une 

 méthode pour la recherche des singuhirités d'une fonction sur son cercle 

 de convergence; quelques applications de cette méthode font l'objet d'un 

 Mémoiie en cours île j)ublication dans le Journal de Mathématiques ('); 

 voici d'autres résultats qui se déduisent immédiatement de formules don- 

 nées dans ce Mémoire. 



» Considérons une série de Taylor 



admettant un rayon de convergence fini; nous appellerons /b/?r//t>/2 entiéie 

 associée, la fonction 



n\ 



» Lorsqu'on donne au module <\q z une valeur fixe /•, le module de celte 

 fonction entière atteint son maximum absolu pour une valeur co de l'ar- 

 gument, que nous supposerons unique, pour plus de netteté, et que nous 

 appellerons argument principal pour le module r. Cela posé, on a les 

 théorèmes suivants : 



» I. Pour qu'une série de Taylor n'admette que des points singuliers isolés 

 sur son cercle de convergence, il est nécessaire que, lorsque r augmente indéfi- 

 niment, l'argument principal pour le module r de la Jonction entière associée 

 tende vers une ou plusieurs limites déterminées. 



» Chacune de ces limiles est d'ailleurs l'argument d'un point singulier 

 de la fonction donnée sur son cercle de convergence. 



» II. Pour qu une série de Taylor n'admette pas son cercle de convergence 

 comme cou- lure, il est nécessaire que l'on puisse assigner un nombre r„, tel 

 que, l'argument principal de la fonction associée, pour les valeurs de r qui 

 dépassent r„, soit constamment compris dans un intervalle fixe d'étendue 

 inférieure à %-. 



(') Sur les séries de Taylor ipii admetleni leur cercle de con\ergence comme 

 coupure, 4" fasc. ; 1S96. 



