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» On en conclut que, si les coefficients sont quelconques, le cercle de 

 convergence est une coupure. Dire que les coefficients sont quelconques, 

 c'est, en effet, dire que (sauf la condition qui résulte de ce que le rayon 

 de convergence est donné) les valeurs des n premiers coefficients n'ont 

 aucune inlluonce sur les valeurs des suivants. Or, on voit très aiscuicMit 

 que, pour r très grand, les coefficients dont le rang n'est pas compris 

 entre \Jr et r^ n'ont qu'une influence très faible sur les grandes valeurs du 

 module de la fonction associée; on peut donc dire que l'argument princi- 

 pal (') pour le module /• ne dépend que des coefficients dont le rang est 

 compris entre \r et r" ; donc, si les coefficients sont quelconques, les argu- 

 ments principaux prendront, lorsque rcroîtra, toutes les valeurs possibles, 

 et le cercle de convergence sera une coupure. 



» Ces résultats confirment des idées très intéressantes émises récem- 

 ment par M. Fabry dans les Annales de l'Ecole Normale; ils prouvent de 

 plus qu'il y a lieu, dès maintenant, de poser le problème suivant, dont 

 l'énoncé seul montre que toute tentative faite pour mettre, à la hase de 

 l'Analvse, la série de Taylor, considérée a priori, est au moins prématurée : 

 Etant donnée une série de Taylor, à quelles conditions déterminées doivent sa- 

 lis/aire les coefficients pour que le cercle de comcrgence ne soit pas une cou- 

 pure? » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation linéaire aux dérivées partielles 

 du second ordre . Note de M. J. Le Houx, présentée par M. Darboux. 



« Les théories générales demandent à être appuvées par un certain 

 nombre d'applications particulières qui en font ressortir l'intérêt et l'utilité. 



» C'est ce qui m'encourage à présenter à l'Académie quelques remarques 

 sur une équation simple se rapprochant, par ses propriétés, de l'équation 

 d'Euler et de Poisson, ou des équations plus générales du type 



d'-z 'i>()') dz (a(x) dz 



d.rily r — y dx r — y dy 



(') Dans certains cas, une très petite vaiialioii du inodulo do la fonction |)ouiiait 

 modifier notablement l'argument principal, si pour deux arguments diflerents la fonc- 

 tion avait des modules voisins; il est aisé de couipliHer, pour ces cas exceptionnels, 

 les énoncés donnés plus haut et de constater qu'il n'y a rien de modifié à nos conclu- 

 sions. 



