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» Cela étant, si la fonction /est en particulier la dérivée, par rapport au 

 temps, d'une fonction quelconque des seuls moyens mouvements n,, ou en- 

 core la dérivée de la fonction de Laplace /(f/R), (dR) étant la différen- 

 tielle de R prise en faisant varier seulement la position des corps dont on 

 étudie le mouvement, position que l'on suppose dépendre uniquement des 

 a,- et /,, on arrive au théorème suivant : 



» Pour obtenir la partie constante de X\"\ il Jaut supposer V existence d'une 

 nouvelle relation de la forme (a) entre les A^^ ; caries termes obtenus, en sup- 

 posant seulement la relation (b) et i relations (a), qui existent nécessairement, 

 s' entre-dél misent tous. 



» En particulier, il en résulte que X^"^, et X^f n'ont pas de partie constante. 



» Tel est le théorème que j'ai démontré par/,, tf, S'/ et S'/, c'est- 

 à-dire jusqu'aux termes du quatrième ordre inclusivement, par un calcul 

 direct. La marche de la démonstration permet bien, à ce qu'il semble, de 

 généraliser par induction les résultats effectivement obtenus, et de regarder 

 comme toujours vrai le théorème général que nous venons d'énoncer. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la convergence des substitutions uniformes. 



Note de M. E.-M. Lémeray. 



« On sait que, f{x) désignant une fonction holomorphe, les fonc- 

 tions f-{x), p{x), ..., obtenues par la répétition de la substitu- 

 tion [x, /(x)], tendent vers une limite unique a, racine de l'équation 



f(x — x) = o, 



si, pour a; = a, le module de la dérivée de f(x) est inférieur à l'unité, et 

 si X est pris dans une région convenable autour du point a. 



» Quand le module considéré est précisément égal à l'unité, on arrive 



aux résultats suivants. Soit ^^-^ (/t et n étant des entiers premiers entre 



eux) l'argument de la dérivée pour x =^a; les n premières dérivées de la 

 fonction f"(x — x) seront nulles en a, quelles que soient, d'ailleurs, les 

 valeurs que prennent en ce point les dérivées seconde, troisième, . . . , n'"""' 

 de /(x), pourvu qu'elles ne soient pas infinies. Désignons par Re""^ la 

 valeur, généralement différente de zéio, que prend en a la (n -+- 1)"'™" dé- 

 rivée de la fonction /"(a;); décrivons un cercle C de rayon infiniment 

 petit, autour do a comme centre; faisons passer par a une droite faisant 



