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degré. Ce théorème remarquahlc, analogue à ceux que M. Bochert avait 

 trouvés pour les groupes |)lusieiirs fois transitifs, est le résultat le plus sail- 

 hint contenu dans celte première Partie. 



La seconde Partie a poiu' ol)jct la détermination d'une limite supérieure 

 de l'ordre des groupes qui ne contiennent pas le groupe alterné. 



Cette importante question est déjà ancienne, et M. Bertrand lui a con- 

 sacré jadis un Mémoire célèbre qui a été l'origine de toutes les recherches 

 récontes sur les substitutions. Parmi les géomètres qui ont suivi ses traces, 

 il faut surtout signaler M. Bochert, a qui l'on doit ce beau théorème : 



L'ordre O d'un groupe de degré n, qui ne contient pas de substitution circu- 

 laire ternaire, ne peut surpasser la limite 



E(« 



M. Bochert aA ait annoncé qu'il était possible de restreindre encore cette 

 limite, lorsque l'on possède une limite inférieure de la classe « du groupe 

 considéré, mais il n'a pas publié sa méthode. L'auteur du Mémoire actuel 

 s'est proposé avec succès de combler cette lacune. Les théorèmes qu'il a 

 établis dans la première section de son Travail sont pour la plupart d'une 

 nature trop complexe pour être énoncés ici; nous nous bornerons à citer 

 celui-ci : 



Ou aura, quel que soit l'entier p, 



o< 



E^. 



dès que M et n surpasseront certaines limites, fonctions de p. 



Dans la deuxième section, l'auteur considère le cas où O n'est pas un 

 multiple de 6 et obtient, dans ce cas, un résultat d'une remarquable sim- 

 plicité 



O < 2-" 



Il généralise ensuite cette méthode (troisième section) pour l'étendre 

 au cas où O n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à un 

 nomi)re premier dotnié p. 



Enfin, dans la quatrième section, l'une des plus intéressantes du Mé- 

 moire, l'auteur examine le cas où O n'est pas divisible par un nombre pre- 



