cune (le ces réglions et, par conséquent, franchir une infinité de fois la 

 ligne qui les sépare. 



La fonction V étant arbitraire dans une très large mesure, on conçoit 

 qu'on puisse tirer de là les théorèmes les |)lus variés. 



.l'en citerai senlenient deux : 



Sur une surface fermée à courbure partout positive, deux géodésiques fer- 

 mées se coupent toujours. 



Sur une surface à courbures partout opposées, il ne peut y avoir qu'une géo- 

 désique fermée sans point double. 



Les résultats précédents s'étendent sans difficulté aux équations de la 

 Dynamique quand il y a deux degrés de liberté. Mais il n'en est plus de 

 même quand le nombre des degrés de liberté est plus considérable. 



On n'a plus alors deux régions, mais trois régions; dans la première, il 

 ne peut y avoir que des maxima de V ; dans la seconde, il ne peut y avoir 

 que des minima; dans la troisième, il peut y avoir des maxima et des mi- 

 nima. Tout ce que l'on peut affirmer alors, c'est qu'aucune trajectoire ne 

 peut rester indéfiniment dans l'une des deux premières régions. 



Du résultat ainsi restreint l'auteur a su cependant tirer une consé- 

 quence intéressante, je veux parler de la démonstration de la réciproque 

 du théorème de Dirichlet. D'après cette réciproque, l'équilibre est instable 

 quand la fonction des forces n'est pas maximum. 



Cette proposition a été souvent énoncée sans démonstration; l'auteur la 

 démontre rigoureusement en laissant de côté certains cas exceptionnels. 

 Malheureusement, sur ce point il avait été devancé. 



M. Kneser avait déjà traité la même question dans le Journal de Crelle, 

 et M. Liapounoff s'en était également occupé. M. Rneser n'examine, il est 

 vrai, qu'un cas particulier, celui où la fonction des forces est minimum; 

 mais M. Liapounolf traile le cas général. L'auteur du Mémoire a ajouté une 

 discussion qui lui appartient en propre, et, d'ailleurs, la façon dont il 

 rattache ce théorème à une théorie plus générale n'est pas sans intérêt. 



Il est sans doute excusable de n'avoir pas connu le Mémoire de M. Lia- 

 pounolT, qui n'a paru qu'en langue russe; la priorité n'en appartient pas 

 moins incontestablement au savant de Kharkow. 



L'auteur montre également, mais en se bornant à une simple indica- 

 tion, comment les mêmes procédés sont applicables à la question de la 

 stabilité des mouvements périodiques. 



