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variable tourne autour de a, el mieux encore l'équation déterminante, défi- 

 nissent complètement la forme analytique des intégrales dans le voisinage 

 du point a. 



» M'inspirant des idées de G:dois, je me propose de montrer, dans cette 

 Note, comment on peut définir, dans le cas général, un groupe continu algé- 

 brique de transformations linéaires, dont les invariants différentiels carac- 

 risent complètement la nature des singularités des intégrales autour du 

 point a. 



» M. Picard a montré (^Traité d'Analyse, t. III) que l'intégration d'une 

 équation linéaire à coefficients rationnels est intimement liée à rétude 

 d'un groupe algébrique de transformations linéaires, qui joue le même rôle 

 que le groupe de Galois dans la résolution d'une é(]ualion algébrique. En 

 suivant une marche exaclement p;irallè!c à celle de M. Picard, j'ai dé- 

 montré, relativement à l'élude des intégrales autour d'un point singulier, des 

 théorèmes de forme toute semblable à ceux qu'il a obtenus pour l'étude 

 des intégrales dans tout le plan. 



» II. Nous dirons qu'une fonction fOr') est déterminée au point a si ce 

 point est, pour la fonction, un point ordinaire ou un pôle. On aura ainsi 



f{x) = {x-aY<^{x), 



n étant un nombre entier positif, négatif ou nul, et cpf/c) une fonction ré- 

 gulière et différente de zéro au point a. 



» Considérons l'équation différentielle linéaire 



dont les coefficients sont rationnels. (Le raisonnement s'appliquerait aussi 

 au cas où ces coefficients sont seulement déterminés en a.) Désignons par 

 y^iji- • ■ Jn ""' système fondamental d'intégrales et posons 



V = u, j, 4- Mj V, + . . . H- «„_y„ 



les quantités « étant des fonctions rationnelles arbitraires. La fonction V 

 satisfait à une équation linéaire à coefficients rationnels d'ordre n- , 



(^0 rfP^+P'-rf-?^+--"'VV = o, 



et les intégrales j',, Vo, . . ., y„ et leurs dérivées s'expriment par des fbnc- 



