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fondamental correspondant à Tinlégrale générale V. On a 



Y, ^ a, , j, + a,^y.:-^ . . . -f- a,„7„. 



» Les quantités o dépendent algébriquement de >>,, >.;. ...,\p et ce5 

 èqualions dèfinisscnl un groupe, algébrique à p paramètres. 



» III. Nous avons ainsi défini un groupe ga attaché à la singularité a de 

 l'équalion difîérentielle. Ce groupe possède les deux propriétés fondamen- 

 tales suivantes : 



» 1° Toule fonction rationnelle de oc, }\, y.^, .. ., y„ et de leurs dérivées 

 déterminée au point a reste invariable quand on effectue sur v,, y.,, . . ., y„ 

 les substitutions du groupe g„ ; 



» 2° Toule fonction rationnelle de x, JKi> ^2. • ■ •> yn ''' de leurs dérivées 

 qui reste invariable par les substitutions du groupe g^ est une fonction de x 

 déterminée au point a. 



» Les divers groupes ga^ gb< • • ■ attachés aux points singuliers a, b, ... de 

 l'équation différentielle sont des sous- groupes du groupe de transformations G 

 considéré par M. Picard. 



» Ce groupe G est le plus petit groupe algébrique contenant- le groupe de 

 monodromie et les groupes g,,, g,,, .... Sans se servir de la considération des 

 groupes g, M. Klein a démontré ce lliéorème dans le cas particulier où tous 

 les points singuliers de l'équation sont réguliers. 



« IV. Ln exemple éclaircira ce qui précède. Supposons que l'équation 

 admette an voisinage de a un système fondamental de la forme 



;-.= e"''~''(a;-a)'-.o,, .... y„ = e''^-^"\x - ay-^o^, 



où les I' sont des polynômes et les ç des fonctions holoniorphes, dilférentes 

 de zéro en a. Le groupe ga est ici le groupe à n paramètres 



V,= a,7,, .... Y„=a„j„, 



ou un de ses sou.s-groupes. Les invariants diflcrentiels 



j'i ^ \x — a) X — a >'„ " \x — a) x — a 



déterminent complètement la forme analvlique des intégrales au voisinage 

 du point a. 



» Je demanderai à l'Académie la permission d'indiquer dans une pro- 

 chaine Note comment on j)eut étendre ces considérations aux équations 

 aux dérivées partielles du premier ordre. » 



