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MÉCANIQUE. — Sur les singularités des équations de la Dynamique et sur 

 le problème des trois corps. Note de M. P. Paixlevé, présentée par 

 M. Poincaré. 



« Je considère un système matériel S dont la position est définie par n 

 paramèires réels x^, ..., x^. Je suppose que la force vive du système 

 21 ^'^kij(^x^. . . . , Xn)x\x'j a son discriminant différent de zéro pour 

 toute position de S, et que les coefficients A,y de T, ainsi que les coeffi- 

 cients X,- du travail virtuel 2X, (a;, , . . . , x^ Sa?, des forces données, sont des 

 fonctions de a?,, . . . , a?,, à un nombre fini de branches, holomorphes pour 

 toute position de S, sauf pour certaines positions exceptionnelles que j'ap- 

 pelle singulières. Encore réserverai -je ce nom aux positions qui demeurent 

 singulières de quelque façon qu'on choisisse les paramètres a?,, ... , x^. 

 Ces positions singulières seront définies par certains systèmes de relations 

 tels que <Pa(^i' ■ • • .^«) = o, (X- = i, 2 /), où les (p^ sont, par hypo- 

 thèse, des fonctions uniformes et holomorphes de x,, ..., a-„ (pour les 

 positions réelles de S) : il est loisible de remplacer ces relations par une 



condition unique 



F (a?,, . . . ,a:„) = o. 



où F désigne le produit de toutes les expressions telles que 



?; + ?2 + •■• + ?; • 



Enfin, MR^ désignera le moment d'inertie de S par rapport à l'origine. 



» Dans une Note antérieure (^Comptes rendus, 26 octobre 1896), j'ai 

 donné des exemples très simples où S (partant pour ^ = de conditions 

 initiales régulières) ne tend vers aucune position limite (à distance finie 

 ou infinie) quand t tend vers un certain instant t^. Quand il en est ainsi, 

 soient T(/), K.(0' F (^) les valeurs des quantités positives T, K, F l'instant ^ 



et soit p(/) la plus petite des valeurs =,, r^, F; je montre que p(^) tend vers 



zéro quand t tend vers f,. Autrement dit, on peut énoncer ce théorème : 



» Théorème I. — Quand t tend vers t^, ou bien S tend vers une position 



déterminée à distance finie avec des vitesses finies et déterminées ; ou bien le 



minimum ^(t^ des quantités tt:' Tr> F tend vers zéro. 



» Corollaires. — Si les forces dérivent d'un potentiel \]{x^, ..., x„), 

 qui soit une fonction de ic, x„a. un nombre fini de branches, le théo- 



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