( «7--^ ) 

 rème I siibr.isfe quand on dosigne par z{t) le minimnm de ; ) F. Si, do 



plus, jT^ reste inlériciir à un nombre fini [innr les grandes valeurs de K", 



le liiéorcme subsiste quand on remplace p(/) par F(/). Si, enfin, ces der- 

 nières conditions étant remplies, les positions singulières de S sont isolées, 

 S tend néccssr.iremeiit vers une position limite quand ; tend vers ?,. 



» Ces propositions entraînent d'importantes conséquences pour les systèmes S 

 qui ne présentent pas de positions singulières et qui satisfont, en outre, à une 

 des trois conditions suii'antes : 



» i" Les forces dérivent d'un potentiel l' (ce,. . . , r„) à un noml)re fini 



de branches, et p; reste inférieur à un nombre fini x pour toute position 

 de S; 



M 2° Les forces ne dérivent pas d'un potentiel, mais les |A,y |, | X, j res- 

 tent inférieurs à une quantité a pour toute position de S; 



» 3° La force vive est de la forme Ixf, et les forces X, sont telles que 



les ^-r~ restent inférieurs à une quantité a, pour toute position de S. 



» Dans ces trois cas, le mouvement se poursuit régulièrement, si grand que 

 soit t, et les x, (t) se laissent développer en séries de polynômes 



{a) Xi(t) = 1 P"' (t, x% ..., xl ,< x;,) 



convergentes pour t quelconque, dont les termes successifs se calculent en 

 fonction des x° , . .., x\^ , .. . à l'aide de simples dilTérenliations, et qui 

 jouissent (au point de vue de la convergence, de la dérivation, etc.) des 

 propriétés d'une série de Taylor. 



» Ce n'est là d'ailleurs qu'un des modes de développement qu'on peut 

 adopter. En particulier, admettons qu'il n'existe pas de positions singulières 

 de S et que la fonction des forces U (^r , x^) reste inférieure, ainsi que les 



|A,y], -T — 1) à une quantité % : à chaque valeur de la constante des forces 



vives h correspond une quantité >. telle que, en posant t= _ _^^ . les 



Xi{t) se laissent développer (pour t quelconque) sous forme de série entière 

 en - : 



juvio-^;-hc;^....^;,...,<,...)T 



'^ -* ( +<'(.... ^»....,^;»,...)T=-r.... 



Clette dernière catégorie comprend tous les problèmes intéressant le corps 

 solide fixé par un de ses points. 



