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M Le problème des n corps ne rentre dans aucune des trois catégories énu- 

 mérées; appliqué à ce problème, le théorème I conduit à la proposition 

 suivante : 



» Quand t croît à parlir de t = o, ou bien tes n corps occupent à chaque 

 instant t des positions déterminées et distinctes (à distance finie), avec des 

 vitesses déterminées et finies; 



» Ou bien, quand l tend vers ;,, deux au moins des n corps M,, . . . , M„ 

 tendent vers le même point déterminé de l'espace; il y a choc à l'instant /, ; 



» Ou bien, quand t tend vers /,, quatre au moins des n corps, soient 

 M,, ..., Mv (v^/|), ne tendent vers aucune position limite à distance finie ; 

 le minimum p(i) des distances mutuelles rjj des v points M, , . . . , Mv tend alors 

 vers zéro avec (f — /,), sans qu'aucune des quantités r^j tende constamment 

 vers zéro. 



» D'après cela, trois hypothèses sont possibles suivant les conditions 

 initiales : 



» Ou bien les distances mutuelles /•,;(') des /i corps restent supérieures à 

 une quantité positive a, quel que soit t; les Xi(^t) se laissent alors déve- 

 lopper sous la forme (è); 



» Ou bien la limite inférieure r,(^) des r^j entre o et ï tend vers zéro 

 quand t croît indéfiniment sans s'annuler jamais; les x^^t) se laissent déve- 

 lopper sous la forme (a); 



» Ou bien r, (i) tend vers zéro quand t tend vers t^ ; les Xi(^t) se laissent 

 développer sous la forme (a) pour ^<;^, mais ne peuvent être calculés 

 au delà. 



» Quand n est égal à?), la dernière circonstance ne se présente que si deux au 

 moins des trois corps se choquent à l'instant /, en un point déterminé de l'es- 

 pace. 



» Le problème des trois corps se laisse donc intégrera l'aide des séries (a\ 

 SI l'on excepte les conditions initiales pour lesquelles deux des points se choquent 

 au bout d'un temps fini t^, en un point déterminé de l'espace. L'étude des 

 trajectoires réelles qui correspondent aux conditions singulières 



x, = x„ = x\ J,=J,=:y», z,=z^^-.z'' 



me donne lieu de penser que les conditions initiales pour lesquelles il v a 

 choc satisfont à deux relations analytiques distinctes. Mais c'est là un point 

 dont je n'ai pas encore achevé l'étude. » 



