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 » Soit encore 



» On sait que, dans tous les cas, le système {}) admet trois intégrales 

 entières, 



(2) T = const., 2a;,-y,-^ const., la-^ := const.; 



de plus, le multiplicateur de ce système est une constante. L'intégration 

 s'achève donc, si l'on sait trouver une quatrième intégrale R, indépen- 

 dante de t. 



» Afin que celle-ci puisse être algébrique, il est d'abord nécessaire que 

 l'une ou l'une des conditions suivantes soit remplie : 



» (a). Les coefficients A,, Ao, A3 étant inégaux, tous les termes de Tj 

 s'évanouissent et 



A2A3(a, — a.,) -+- A3A,(a2 — «3) + A, Ao(a3 — a,) = 0. 



» Ces relations sont aussi suffisantes, car il existe alors une intégrale 

 quadratique; c'est l'un des théorèmes trouvés parClebsch; seule, la né- 

 cessité des conditions n'était pas établie. 



)) (b). Deux des coefficients de T3 sont égaux, par exemple Aj = A3. 



)) Jj'intégrale cherchée, lorsqu'elle existe, peut toujours être supposée 

 entière; mais deux hypothèses sont admissibles et je suis obligé de leur 

 consacrer deux discussions séparées. 



» i" Il arrive que les deux identités 



(■^) <^l., — a'i, — A,(a. — 03) = o, «2_,a3,, — A,6, = 



soient vérifiées. L'existence d'une quatrième intégrale R, fonction algé- 

 brique des inconnues, exige encore qu'il soit satisfait à ces conditions 



(4) «2,2 — <Ï3,3 = O, «2,3 + «3,2=0> 



et à celles-ci 



(5) aj^jAo-f-a, .A, = 0, «3,, A, -+- a,_3A, = o. 



» Lorsqu'il en est ainsi, l'intégrale existe effectivement; c'est un poly- 

 nôme entier, indécomposable, dont il est inutile de supposer le degré 

 supérieur à six. Ce cas comprend celui de Clebsch et Halphen, mais il est 

 d'une généralité beaucoup plus grande. 



» Le calcul de l'intégrale résulterait en principe d'une théorie très 

 simple ; en fait, le nombre des termes, qu'il faut déduire les uns des autres. 



