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OÙ 1^ et '\i' sont deux polynômes entiers par rapport aux y dont les coeffi- 

 cients sont rationnels par rapport aux œ et à s. On peut toujours supposer 

 (et cela bien que nous ne supposions pas les fonctions A, homogènes) que i 

 ne contient que des termes d'ordre pair par rapport aux y, ou seulement 

 des termes d'ordre impair. 



» Cela posé, Bruns montre que, si •% est l'ensemble des termes de t]/ dont 

 le degré est le plus élevé par rapport aux j, on a identiquement 



OÙ (0 = y co,j, est un ])olynome homogène du premier degré par rapport 



aux y dont les coefficients sont rationnels en œ et s. 

 )) iM. Bruns cherche à démontrer que 



('i) 2'"'^^' 



est une différentielle exacte. 



» Dans le cas où les coefficients de ^}^„ sont rationnels en x et indépen- 

 dants de s, la démonstration ne laisse rien à désirer. 



» Mais il n'en est pas de même s'ils dépendent de s. Le raisonnement 

 de Bruns (loc. cil., p. 3^ et suiv.) soulève des objections. Il fait d'abord 



v, = y., = ... =^v„ = o; 



le polynôme i(, se réduit à un polynôme iJ/qo, ne dépendant que dey, ely^; 

 écartant par un artifice parfaitement légitime le cas où (J/^o serait identi- 

 quement nul, il écrit 



)- Il pose 



./f+f-.7r'72+ •.. -t-cyj?. 



c„o 



désigne par W le produit des diverses valeurs de >\i' correspondant aux 

 diverses racines de l'équation (2) en s, par II le dénominateur commun des 

 coefficients de W, de telle façon que II y soit un polynôme entier en ic et 

 en y. Il montre que 



r/ll'l- flWH- _ 



•^ * (h'i ' - djc, 



» De cette équation il veut conclure (p. 38) que 



JiW = {y,y,- y, x,y^. 

 C'ejl làquela démonstration est en défaut. Cela serait vrai si Ajo, et par con- 



