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séqueiit H^", clait homogène en .r, et en x.^; mais il n'en est pas ainsi. 

 Bruns suppose, il est vrai, qnc les A, et F sont homogènes en a; et 5; cela 

 lui permet lic supposer que i}*,, est homogène en a:,, x.,, . . ., x,,. Mais alors, 

 (j/pj est homogène en a;,, x^, . . ., x„ et non pas en x, et x., seulement. Pour 

 le rendre homogène en x, et a^a, il faudrait non seulement annuler^.,, 

 Xi> • • •»}'«' rnsis encore x.^, a*.,, .. .,x„; mais alors la relation d'intcgrabililé 



cl.r, clx. 



ne serait plus démontrée qu'en supposant ces n — 2 variables nulles. 



» Au reste, il est aisé de former un exemple oîi le théorème de Bruns 

 est en défaut. Supposons que l'équation (2) s'écrive 



S' = x] + xl — x'i. 

 Considérons le polynôme 



{x,y., - x.,y,y - (a-, r, - x,y,Y - {x._y., - a-., j,)-, 



qui salisf\\it à l'identité (3); il se décomposera en deux facteurs, 



(•^. 72- 7,^0) (^' --^1) + {■^■i^z-^ oc,s){x,y^- y,x^) 

 et 



x\{x\ — xl) 



Fn v^ij'j JKi^s)' 



Chacun de ces facteurs satisfera à l'identité (3) sans que l'expression (4) 

 soit une différentielle exacte. 



» Il importe donc de rechercher les cas d'exception. Supposons d'abord 

 n = 2 et regardons x^ et x.;^ comme les coordonnées d'un point mobile 

 (hïns un plan y, et y^ comme les composantes de sa vitesse. Alors l'équa- 

 tion tj; = G représentera un système de droites dans un pian. Ces droites 

 auront une enveloppe que j'appellerai E. 



» D'un point du plan, on pourra mener à cette enveloppe plusieurs tan- 

 gentes et le rapport y' — ^ représentera le coefficient angulaire d'une de 



ces tangentes. Considérons maintenant le polynôme '|„ ; s'il ne dépend pas 

 de s, on retombera sur le cas où le théorème de Bruns s'applique; s'il 

 dépend de 5, on pourra trouver une quantité c telle que 1° 1 est rationne! 

 en X Gis; 1° c est rationnel en x^, a., et y' , y' représentant le coefficient 

 angulaire d'une des tangentes menées à E par le point a*,, a"„; 3" les coef- 

 ficients de (]/„ sont rationnels en x al r;; 4° aux diverses valeurs de n corres- 

 |iondenl autant de polynômes (j/g différents. 



M Faisons décrire au point a;, , x^ un contour fermé imaginaire très petit, 

 (juelconque ; il pourra arriver que deux ou plusieurs valeurs de c, ou que 



