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deux ou plusieurs valeurs de y' s'échangent entre elles; c'est la façon dont 

 se fait cet échange qu'il s'agit de discuter. 



)) Pour que des valeurs de a s'échangent, il faut que des valeurs dey' 

 s'échangent et pour que des valeurs de y s'échangent, il faut cjue le point 

 X,, X., tourne autour de la courbe E ou autour d'une tangente singulière 

 \\ E; je veux dire une tangente d'inflexion ou une tangente en un point sin- 

 gulier. Nous restons donc en présence de deux hypothèses : 



» 1° Le lieu des points où l'équalion en o (et par conséquent l'équation 

 en s) a des racines égales comprend E; 



» 2" Le lieu ne comprend pas E, mais comprend une tangente singulière 

 à E. 



» Cette deuxième hypothèse doit être rejetée; c'est ce que montre la 

 discussion de la façon dont s'échangent les diverses valeurs de y' , de c et 

 de s quand le point x^, Xn tourne, dans le voisinage du point de contact, 

 autour d'une tangente singulière à E, ou d'une des branches de courl>e 

 qui la touchent. 



» Ainsi E devra faire partie du lieu des points où l'équation (2) a des 

 racines multiples. 



» Soit maintenant n = 3 et supposons que x^, x.^, ajj soient les coor- 

 données d'un point mobile dans l'espace, y,, j'o et y, les composantes de sa 

 vitesse. L'équation ^^=^ o est alors celle d'un complexe de droites. 



» Si le polynôme i, est exceptionnel, c'est-à-dire si ses coefficients ne 

 sont pas rationnels en x et s'il fait exception au théorème de Bruns, 

 toutes les droites du complexe devront être tangentes à la surface, lieu des 

 points où l'équation (2) a des racines égales. 



» Supposons enfin n cjueiconcpie. Écrivons que l'équation en 5(2) a des 

 racines égales; nous obtiendrons une équation 



$(0;,, .r,,. ..,x„) = o, 

 qui pourra n'être pas irréductible, mais se décompose en plusieurs autres 



<I>, (:r,) = o, 'l'o (^,) = 0, . . . , 'l\{Xi) = o. 



Considérons l'une de ces équations 



A\{x^,x.,,...,Xn) = 0, 

 et formons l'équation en l, 



*A(a7, + 7, t, x.^ + y.^t,..., a-„ -H V„ 1)^0. 



