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» Cette trajectoire effective, d'après sa définition, correspondra à une 

 solution périodique du problème dont la période sera t, — /„. 



» Je me propose de démontrer que, dans chaque classe de trajectoires 

 fictives, il y en a une qui correspond à un minimum de l'action liamil- 

 tonienne et, par conséquent, à une solution périodique. 



» Pour cela, il me suffit de faire voir qu'en faisant varier d'une manière 

 continue notre trajectoire fictive, elle ne pourra passer d'une classe à 

 l'autre sans que l'action hamiltonienne devienne infinie. 



» En effet, le passage d'une classe à l'autre s'effectuera lorsque deux 

 des trois corps viendront à se rencontrer. Si, par exemple, a et c se ren- 

 contrent, la trajectoire considérée T sera infiniment voisine de deux autres 

 T' et T"; pour T', le corps a passera très près de c, mais à droite; pour T , 

 il passera très près de c, mais à gauche. Il est clair que les valeurs de 

 l'entier Kj, qui correspondent à T et à T", différeront d'une unité. 



» Je dis maintenant que, si a et <? se rencontrent, l'action est infinie. 



» En effet, l'action sera du même ordre de grandeur que 



ou que 



f' 



f^s/Vdr, 



ou que 



ikmrn 1 — -> 



c'est-à-dire infinie si «> 2. Or on a n = 2 si, comme nous le supposons, 

 l'attraction s'exerce en raison inverse du cube des distances. 



» Alors, dans chaque classe, il doit y avoir un minimum de l'action; il 

 doit donc y avoir une trajectoire effective, et celte trajectoire correspond 

 à une solution périodique du problème. 



» A chaque système de valeurs des deux conslanles arljitraires /, — /q 

 etto, et des deux entiers Ko et K3 correspond une solution périodique. 



» Notre raisonnement ne s'applique évidemment que si l'attraction 

 pour les très petites distances est du même ordre de grandeur que l'inverse 

 du cube de la distance ou d'ordre plus grand. 



1) Dans tous ces cas, il y aura une infinité de solutions périodiques. 



» Mais, dans le cas de la loi de Newton, l'action ne devient plus infinie 

 quand les deux corps se rencontrent; nous ne pouvons plus affirmer qu'il 

 y a une solution périodique dans chaque classe. 



