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» C'est, en effet, ce qui a lieu. A tout domaine singulier (point ou 

 courbe) d'une équation linéaire aux dérivées partielles du prcnn'cr ordre 

 est attaché un groupe, (Ini ou iiilini, dont les invariants différentiels iléter- 

 minent complètement la forme analytique des intégrales au voisinage du 

 domaine singulier. 



M II. Afin de simplifier les notations, nous considérerons seulement 

 l'équation à trois variables 



(■> ^^.■^•'&->-^-£, = ''- 



où X, X,, X2 sont des polynômes entiers en x, x, et x.,. 



» Désignons par M,, Mo deux intégrales indépendantes de cette équation 

 et considérons, avec M. Drach, l'expression 



V ^^ A, M, -i- AoWo, 



A, et Ao étant des fonctions rationnelles de x, x, elx.^. 



» La fonction V vérifie une équation aux dérivées partielles du second 

 ordre (A), qui joue le rôle de la résolvante générale de Galois. 



» A toute solution de cette équation correspond un svstcme d'inté- 

 grales u, élu,, indépendantes; sauf le cas où le déterminant 



dtif dui dui dui 



serait nul, ce qui donnerait l'équation 



x,x,,x.„ \ , ^^> ■■■> ^^,) — o, 



(p étant un polynôme entier par rapport à toutes les quantités qui y figu- 

 rent. 



» III. Les singularités de l'équation (i), qui ne dépendent pas de Informe 

 particulière choisie pour f intcgralc , sont données par les équations 



X=-X, = X„ = o. 



» Désignons par a, a,, a., les coordonnées d'un point singulier qui 

 pourra être soit un point singulier isolé, soit un point de l'une des courbes 

 singulières. 



» Nous dirons qu'une fonction /(jt, a;,, a;.) est ;72e>07«ciry9Ae au voisinage 

 du point a, a,, «o si 



X,X„X,) - ^^^^^^^^^y 



les fonctions P et Q étant régulières au voisinage de ce point. 



