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» Ceci posé, il existera en général un système complètement intégrable 

 (B) jouissant des propriétés suivantes : 



» 1° Les équations de ce système sont des polynômes entiers par rap- 

 port à V et à ses dérivées partielles, dont les coefficients sont des fonctions 

 de X, x^, X., méromorphes au voisinage du point a, «,, a., ; 



» 2" Certaines intégrales de (B) vérifient l'équation (A.) sans satisfaire 

 à cp = o; 



» 3" Il n'existe pas de système complètement intégrable (B') jouissant 

 des deux propriétés précédentes et dont toutes les intégrales vérifient le 

 système (B). Il en résulte immédiatement que toutes les intégrales de (B) 

 appartiennent à (A). 



» Soient s> une intégrale particulière de ( B) et V l'intégrale générale aux- 

 quelles correspondent respectivement les intégrales «,, u^ et U, , U2 de 

 l'équation (i). On a 



U, -^/, ( W, , M.), U, ==/..(Un U2). 



» Ces équations définissent un groupe fini ou infini. 



» IV. Ce groupera attaché à la singularité a, a,, a., de l'équation aux 

 dérivées partielles possède les deux propriétés suivantes : 



» 1" Toute fonction rationnelle de x,x^,x^ de U^, u., et de leurs dérivées 

 partielles, méromurphc autour du point a, a,, a.^, reste invariable quand on 

 effectue sur w, , Mo les substitutions du groupe g^. 



» 2" Toute fonction rationnelle de x, x,,X2, de w, , u„ et de leurs dérivées 

 restant invariable par les substitutions du groupe g„ est une /onction de x, x,, 

 x„ méromorphe au voisinage du point a, a,, a.,. 



)) En particulier, les invariants différentiels <I>,, (Po, ... du groupe g^ 

 sont des fonctions méromorphes au voisinage du point singulier. Si l'on 

 a calctdé leurs valeurs cp,, cp^, ... en fonction de x, x^, Xn, l'étude des mté- 

 grales au voisinage du point singulier revient à l'étude du système d'équa- 

 tions différentielles 



^,=(f,(x,Xf,X.f), <i?.,— (f.,(x,X,,X.,'), 



» si le point a, a,, a., appartient à une courbe singulière, le groupe g^ 

 reste le même pour tous les points de cette courbe, sauf peut-être pour 

 les points multiples. 



» Enfin les divers groupes g^, g^, . . . attachés aux singularités de l'équa- 

 tion aux dérivées partielles sont des sous-groupes du groupe fondamental 

 défini par M. Drach. 



