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 » I. Nous supposerons distinctes les caractéristiques de l'équation. 

 L'ensemble des termes du second ordre peut être considéré comme l'en- 

 semble des termes du second ordre d'un paramètre différentiel du deuxième 



ordre correspondant à un r/.9'^ Soit ^aijclxjdxj (i,j = 1,2) ce ds^, A son 



'/■ 

 discriminant, A, («y) -- Va ^-t— (A,yA ^-r^ j le paramètre différentiel du 



'■>/ 

 second ordre (A,^ est le coefficient de a,y dans A). L'équation considérée 



peut alors s'écrire 



(1) A,((*>) + 2 6, ^ + 2^2^ -4-c«'.= o. 



» Si l'on change w en \w' , que l'on divise les deux membres de l'équa- 

 tion obtenue par \, on obtient l'équation 



(2) A,(tV) + 2/>, ^- +2Z>,^ + C<1^ = 0. 



1) Les coefficients h\ , b'., , c' sont déterminés en fonction des coefficients de 

 l'équation (t) et de \ par des relations que l'on peut considérer comme un 

 système de trois équations aux dérivées partielles en>.. Les conditions d'in- 

 légrabilité de ce système peuvent être mises sous la forme 



H = H', K = K', 



où H et K désignent des fonctions des coefficients de l'équation (i) et de 

 leurs dérivées du premier ordre; H' et R' des expressions construites de la 

 même façon avec l'équation (2). 

 » En posant 



/, =: a^ 6| -f- a, jèj, 4 = ^21 ^1 "<- <ï22^2» 



on a 



dx, dx, 



•i '/ 



» [L i" Les expressions H et K sonl. des invariants relativement à la 

 transformation de l'équation par changement de w en \w' et division du ré- 

 sultat obtenu par \ . 



» 2° Par un changement de variables, H se reproduit multiplié par le dé- 

 terminant fonctionnel de la substitution, K reste le même. 



