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» 3° 5'/ l'on mitltipUp les deux membres de l équation par un facteur p (x, y) 



di-\ 

 • ds- correspondant devenant -^j, H se reproduit identiquement, R est 



multiplié par p. 



» Remarquons que -= reste invariable par un changement de variables. 



» HT. Si K n'est pas nul, on peut choisir p de telle façon qu'il soit égal 

 à l'unité. ]^o ds- correspondant à l'équation est ainsi entièrement déter- 

 miné. Il résulte de là que les deux problèmes suivants sont équivalents : 



» 1° Deux équations linéaires étant données, chercher si l'on peut passer 

 de l'une à l'autre par un changement de la fonction inconnue (r en \iv' et un 

 changement de variables. 



n -j." Reconnaître s'il est possible de passer d'un ds'- à un autre par un chan- 

 gement de variables qui laisse imariante une certaine fonction -- autre que la 



courbure totale. 



» La méthode suivie montre qu'il est toujours possible de reconnaître 

 si, pour une équation, on a TI — o, et cela sans intégration. 



» L'équation, ramenée à la forme (a) de Laplace, a alors ses invariants h 

 et k égaux. On démontre aisément que l'on j>eut ramener ces équations à 

 la forme li^.^iw') + w' = o, en intégrant au besoin une différentielle totale 

 exacte. Par suite, les équations à invariants égaux se cla.ssent comme 

 les d).'-. Ce résultat a déjà été signalé par M. Darboux (^Leçons sur la 

 Théorie des surfaces, 2* Vol., Ch. ITI et VIII). Ajoutons encore que, si H et 

 Ksont nuls, l'équation se ramène à la forme Aof»') = o. 



» IV. Les expressions H et K, pour l'équation réduite à la forme (a) 

 de Laplace, ont les expressions suivantes : 



n^h-k, 2K = h-h&, 



h etX- étant les invariants de M. Darboux. 



» Pour la forme canonique étudiée par M. Le Rov (Comptes rendus, 

 i'] février 189G), R se réduit à l'expression que M. Le Roy désigne par <p. 



» V. La méthode précédente s'applique aux équations linéaires du second 

 ordre à plus de deux variables. Je montrerai ultérieurement quelles sont les 

 modifications apportées dans les résultats par le changement du nombre des 

 variables. » 



