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GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. Sur un déplacement remarquable. 

 Note de M. Raoul Bkicard, présentée par M. Darboux. 



K MM. Darboux et Mannheim ont fait connaître des modes de déplace- 

 ment d'une droite mobile dont les points décrivent tous des surfaces sphé- 

 riques (déplacements à deux paramètres) ou des courbes sphériques 

 (déplacement à un paramètre). En cherchant à généraliser ce résultat, j'ai 

 obtenu le théorème suivant : 



» Soient, dans l'espace, deux coniques quelconques C et C. Etablissons 

 entre ces deux courbes une correspondance homographique quelconque ; soient 

 m^, m.,, m^, m^, /«- cinq points pris arbitrairement sur la conique C, et m\, 

 m,, m'j, m[ rn'. les points de la conique C qui sont respectivement les homo- 

 logues des premiers points dans la correspondance dont il s'agit. Si la co- 

 nique C, supposée de grandeur invariable, se déplace de telle manière que les 

 points m\, m.^, iri.^, m,^, m'.^, liés à cette conique, restent sur des sphères fixes 

 dont les centres sont respectivement les points m^, m.,,m.^, m.,, , m^ , tout point m'^ 

 de la même conique décrira une ligne appartenant à une sphère fixe dont le 

 centre /n,,, appartient à la conique C et est rhomologue du point rri^ dans la 

 correspondance homographique établie. 



» Ce théoi'ème, que le manque de place m'empêche de démontrer ici, 

 admet un cas particulier intéressant que l'on peut énoncer ainsi : 



» Un triangle de grandeur invariable a'b'c' dont le plan reste parallèle à 

 un planfiixe P se déplace de telle manière que ses trois sommets restent sur des 

 sphères fixes dont les centres a, b, c sont des points fixes situés dans le plan P, 

 le triangle abc étant directement semblable au triangle a'b'c'. Tous les 

 points de la circonférence circonscrite au triangle a'b'c' décrivent des lignes 

 situées sur des sphères fixes ayant leurs centres sur la circonférence circonscrite 

 au triangle abc. 



» Si m' est un point de la circonférence a'b'c' , m le centre de la sphère 

 sur laquelle reste le point jn' , les points m et m' sont homologues j^ar rap- 

 port aux triangles abc, a'b' c' . On peut ajouter que, pour une position quel- 

 conf[ue du plan P', les droites mm' sont les génératrices de même système d' un 

 hyperboloide. C'est un cas particulier d'un théorème énonce par Chaslcs (' ). 



C) Note sur les six droites qui peuvent cire les directions de sia; forces en équi- 

 libre {Comptes rendus, t. LU). 



C. R., 1896, 2« Semestre. (T. CXXIII, N» 22.) 123 



