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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les transfofmalions des systèmes différentiels. 

 Note de M. Etienne Delassits, présentée par M, Darboux. 



« Dans une Note antériciiic, j'ai donné nne forme canonique des sys- 

 tèmes dilïcrcntiels quelconques et un lliéorème général analogue à celui de 

 Cauchy. Je me propose de montrer ici que ce théorème, par cela même 

 qu'il précise les arbitraires dont dépend l'intégrale générale, permet de dé- 

 duire d'un même point de vue plusieurs des résultats obtenus jusqu'ici. 



)) Convenons, pour abréger, d'appeler arbitraires du genre \j. les fonc- 

 tions arbitraires de jj. variables, les constantes arbilr.iires étant des arbi- 

 traires de genre o. Convenons aussi d'appeler systèmes de première espèce 

 les systèmes dont l'intégrale générale ne renferme que des arbitraires de 

 genre o. 



» Soit 1 un système dont l'intégrale générale renferme 



arbitraires des genres o, i , . . . , v. 



» Appelons degré d'indétermination de i l'ensemble des nombres To, 

 r, Tv, représentons-le par cD, et disons cjue l'on a 



©'>(0, 



s'il existe un nombre a£v tel que 



r = r r' — r r ■"> r 



» L'intégration d'un système devra être considérée comme d'autant plus 

 compliquée que son degré d'indétermination sera plus grand. 



» Etant donné uw système canonique i, les i^ropriélés des ensembles 

 canoniques montrent que, si on lui ajoute de nouvelles équations de façon 

 à former un nouveau système canonique i', on aura forcément 



(O'<C0. 



» Si donc, on connaît des équations complémentaires contenant des 

 arbitraires convenables, on aura simi)lific l'intégration de i puisqu'on sera 

 ramené à celle de i'. 



» Première transformation. — Soit 1 canonique d'ortlrc n. l'roloii- 

 geons-le jusqu'à un ordre arbitraire//, ou soit alors N' le nombre d'équa- 



