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tions de cet ordre qui manquent pour qu'il soit de première espèce. 

 Ajoutons k 2 p équations d'ordre n' 



/, = o, ..., /p=o 



et écrivons qu'en formante' on n'aura jamais d'équations d'ordre inférieur 

 ou éijal à n' autres que celles de i et les équationsy= o. Nous aurons, 

 pour déterminer les/, un système a d'équations aux dérivées partielles qui 

 est plus compliqué que 1. Ce système n est toujours coinpatible, son intégrale 

 générale contient plus d'arbitraires qu'il n'en faut pour que 1' puisse donner 

 toutes les intégrales de 1 . Pour ramener l'intégration de 1 à celle de 1', il sujjit 

 de savoir calculer les intégrales de n qui correspondent à des fonctions initiales 

 très restreintes, intégrales qui existent sûrement. Si l'on sait intégrer "S,, on en 

 déduit l'intégrale générale de a par des calculs algéhnques. 



Si 2' es! de première espèce, l'intégration de 1 sera achevée; sinon, elle 

 sera simplifiée. 



» Si l'on applique le cas de/? = i aux systèmes du premier ordre à une 

 inconnue, on retrouve la méthode de Jacobi et Mayer. 



» Si l'on applique le même cns, qui est d'ailleurs le seul possible, aux 

 systèmes pour lesquels on a N = ( , c'est-à-dire aux systèmes dont l'inté- 

 grale générale dépend d'une seule fonction arbitraire d'un seul argument, 

 d est un système linéaire et homogène à une seule inconnue; il s'intègre, 

 comme l'on sait, par des équations différentielles ordinaires et il en est de 

 même de 2' qui est alors de première espèce, de sorte qu'on retrouve un 

 résultat dû à M. Beudon. 



» Appliquons au cas p = W . 2' sera de première espèce. Si l'on sait 

 trouver l'intégrale particulière de g dont il a été parlé plus haut, on saura 

 intégrer 2 par des équations différentielles ordinaires et l'on en déduira 

 toutes les autres intégrales de a par des calculs algébriques. Donc : 



M Tout système canonique 2 permet déformer une infinité de systèmes ca- 

 niques g, tels que, si l'on en connaît une intégrale particulière convenable, on 

 puisse en déduire l'intégrale générale par des intégrations d'équations diffé- 

 jcntielles ordinaires. 



» La connaissance de cette intégrale particulière pour un quelconque des 

 systèmes o permet d'intégrer tous les autres et 'Lpar des équations différentielles 

 ordinaires. 



)) A tout système 2 dont on sait trouver l'intégrale générale correspond une 

 infinité de systèmes n de plus en plus compliqués que l'on sait intégrer com- 

 plètement. 



C. R., 1891;. -' Semestre. (T. CXXIII, N- 26.) l(33 



