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» Nous avons imposé aux équations /= o la condilion que i' ait des 

 intégrales dépendant d'un certain nombre de constantes arbitraires. Plus 

 généralement on peut imposer aux /la condition que 2' ait un degré d'in- 

 détermination tD' donné à l'avance. On tombe aussi sur un système «î qui 

 peut être incompatible ou n'avoir pas un degré d'indétermination suffisant 

 pour que toutes les intégrales de i puissent être fournies par L' . En pre- 

 nant le cas le plus favorable, c'est-à-dire en prenant une seule équation y" 

 et donnant à lô' sa plus petite valeur qui correspond à 



r', = i, r'^ = r; = ...= o, 



on retombera sur la méthode de M. Darboux. 



» Deuxième transforma lion. — Au lieu de chercher la forme des fonc- 

 tions/, on peut se la donner à l'avance, mais faire dépendre ces fonctions 

 de nouvelles inconnues s,, z'„, ... et de certaines de leurs dérivées. En 

 exprimant les conditions imposées à 2', on trouvera un système c;' aux in- 

 connues :;'. On est ainsi conduit à ce qu'on pourrait appeler la transfor- 

 mation par changement d'inconnues. Le cas le plus simple est celui où les 

 équations complémentaires sont de la forme <^,-^=z'^, les ç ne dépendant 

 que des ;;. Ces équations ajoutées à 1 donneront toujours un système 

 compatible 1'. 



)) liC degré d'indétermination de a' sera au plus égal à celui de 1 et sera 

 d'autant plus petit que celui de S' sera plus grand. Si donc 1' n'est pas ca- 

 nonique et de première espèce, on aura une réduction de i. 



)) En particulier, si 2 est linéaire par rapport aux - et à leurs dérivées, et 

 si la méthode de M. Darboux donne une fonction /linéaire parrapportaux 

 5 et à leurs dérivées, on peut, parla transformation/^ z', montrer qu'elle 

 donnera la solution complète en résolvant un système ':' moins compliqué 

 que 2. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une série relative à la théorie des équations 

 différentielles linéaires à coefficients périodiques. Note de M. A. Liapou- 

 NOFF, présentée par M. E. Picard. 



« Considérons l'équation 



en supposant que x est une variable réelle et que p{x) est une fonction 

 continue qI périodique de a; à période o. 



