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et, par suite, A, = o. Mais, dans ce cas, on aura aussi A,;= o pour toutes 

 les valeurs impaires de n, de sorte que la série (2) se réduira à la sui- 

 vante : 



(3) A = i-f-A, + A, + Ao--.... 



Or, ce que je veux surtout signaler dans cette Note, c'est que, dans le cas 

 considéré, l'expression générale de A^,; se réduit à celle-ci 



A.„=^-2)«rv^, ^V/.r,...^"''^'(I^-p,)=(p,-p,o^..(p,„_,-p,„)=r/r,„. 



» On a là une transformation de l'intégrale multiple, qui a lieu toutes les 

 fois que la fonction P(a;) vérifie l'égalité P(co — jc) = P(a;). 



» De celte expression de A^,, on conclut que, la fonction /9(.r) étant 

 réelle, la série (3) « ses termes allernativemenl positifs et négatifs. Mais l'ana- 

 logie avec le cas de p(x) positive va encore plus loin, puisque de ladite 

 expression on peut déduire l'inégalité suivante 



I , . ^ 1 .2.3. . .m. 1 .2.3. . .11 , . 1 1 . , 



I A 2,„+o„ I < ,.2.3...(/?H-/0 l'^^mW J^înU 



et comme il suit de là 



I A I ^ i^ I A I 



on voit qu'à partir d'un certain rang les termes de la série (3) constam- 

 ment décroissent en valeurs absolues. Si l'on a |A2|<2,ce décroissement 

 commence déjà dès le deuxième terme et l'on se trouve dans le cas de 

 A^ < I . On parvient ainsi à la proposition suivante : 

 » La fonction p(v) étant réelle et impaire, soit 



/' 



/>(ic) dx = P, 



la constante arbitraire étant déterminée de manière à avoir 



.0, 

 / P^/.r = o. 



•/g 



» Alors, si Ton a 



(O r"pVa7<4, 



il est certain que la constante A pour l'équation ( 1 ) vérifie l'inégalité A" <[ i . 

 » Il va de soi que cette proposition, ainsi que les conclusions précé- 

 dentes concernant les valeurs des A„, subsiste, si la fonction p(x), au 



