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A9 <C ? entraîne [ W | < p. La formule des accroissements finis donne 



W(a;, y, t) = ?(.r. j) + tW'(x, y, t') (o < ^ < 0- 



D'où 



W — o |< - ( si / < 4 



» Prenons 1 = 1^, /„ étant un nombre compris entre o et -^- On peut 

 encore choisir n assez grand pour que l'on ait 



2 



W - 2 A,-U,-^-^>o < 

 1 I 



Finalement 



» Bien que l'on ne sache pas s'il est permis de déwlopper ç en série procé- 

 dant suivant les fonctions U,-, il est cependant possible (et d'une infinité de ma- 

 nières^ de représenter cette fonction par une somme d'un nombre fini de termes 

 de la forme B,U,, les B, étant des constantes. Posons maintenant 



n 



s = 2b,U,cos|,«. 



1 



» La fonction z résout le problème des membranes vibrantes avec telle ap- 

 proximation que l'on veut. 



» Soit tj le terme général d'une suite convergente de nombres positifs 

 ayant zéro pour limite. Je viens de montrer qu'il est possible de construire 

 une suite de fonctions Zj dont chacune vérifie l'équation dos mem- 

 branes et dont renscmble forme pour / = o une suite uniformément con- 

 vergente ayant <p pour limite. J'ajoute que l'on peut bien facdement démon- 

 trer la convergence uniforme de la suite Zj pour toute valeur de t. On définit 

 ainsi sans ambiguïté une fonction limite z qui est continue, qui s'annule sur 

 C et qui se réduit à o pour / = o. Cette fonction peut être représentée par une 

 série absolument et unifonnément convergente de fonctions vérifiant l'équation 

 des membranes. 



» On peut remarquer que les théorèmes précédents justifient l'emploi 

 en Phvsiquc de certaines séries analogues aux séries trigononictri([nes pour 

 effectuer la représentation analytique des fonctions arbitraires, même 

 lorsque la convergence de ces séries n'est pas prouvée ou n'a pas lieu. » 



