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 à affirmer l'existence des fonctions harmoniques fondamentales. Elle est 

 d'ailleurs très analogue à celle que M. Poincaré a donnée, pour une ques- 

 tion de même espèce, dans son Mémoire sur les équations de la Physique 

 mathématique (Rendiconli del Circolo malemalico di Palermo, i8r)4). La 

 seule modification notable est l'emploi d'une transformation ponctuelle de 

 l'espace, indiquée d'ailleurs par le même géomètre dans un Mémoire sur 

 la méthode de Neumann (^Acta mathematica, 1896), mais que j'ai dû géné- 

 raliser un peu. 



)) On peut chercher à développer 'î' eu série de la forme 



^^SA^W^, Ap = f<l>W„di 



0). 



(S) 



Une méthode imitée de celle qu'a suivie M. Poincuré dans son Mémoire 

 sur l'équilibre et les mouvements des mers (Journal de Mathématiques, 

 1896), permet d'affirmer que la série précédente a effectivement 'I' pour 

 somme, sous la seule condition qu'elle soit uniformément convergente. 



» On voit d'ailleurs aisément, si l'on suppose le principe de Dirichlet 

 établi, que la convergence absolue et uniforme est assurée quand la fonc- 

 tion $ a des dérivées de tous les ordres. Le théorème de Harnack montre 

 alors que la série converge dans tout l'espace : sa somme est la fonction 

 harmonique qui prend sur S les valeurs <I>. l^e même développement en série 

 est valable pour les problèmes de Dirichlet intérieur et extérieur : la solu- 

 tion se présente sous la forme d'un potentiel newtonien de simple couche. 



)) Il est facile de généraliser ce résultat. On sait maintenant construire 

 une fonction V harmonique à l'intérieur et à l'extérieur de S, régulière à 

 l'infini, vérifiant en tout point de S la relation 



et se réduisant sur S pour / =: o à *î>. On a 



(i) V = 2A^W/,e-V, 



et cela suppose seulement que <P a des dérivées de tous les ordres. 



» Un théorème, qui présente quelques analogies avec celui de Harnack, 

 permet de résoudre le même problème par la même série, lorsque <î> est 

 simjjlement continue. La série n'est i)lus valai)le alors (juc pour ^^o; 

 mais on en déduit, en suivant une marche indiquée par Abel à propos 

 des séries entières, que, si elle est encore convergente pour / = o, elle a 

 pour somme la fonction harmonique prenant sur S les valeurs <i>. Eu tout 



