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par (i) et par (2) coïncident. Nous dirons ainsi qu'ils sont homologues si 

 l'on peut passer de (i) à (2) en changeant qi en cp,- (^,, ..., q^) et en fai- 

 sant t = t^. Ces définitions admises, la condition nécessaire et suffisante pour 

 que les trajectoires de (i) se laissent transformer en elles-mêmes par un chan- 

 gement convenable des variables q,, c'est quil existe un système (2) à la fois 

 homologue et correspondant de (i). Ce système (2) peut coïncider avec le 

 système (i), qui se transforme alors en lui-même parle changement de 

 variables (supposé non identique). J'ajoute que si les Q, admettent un po- 

 tentiel U, il en est de même évidemment des Q;. 



)) En s'aidant des résultats que j'ai publiés sur les systèmes correspon- 

 dants, on peut montrer que si, (i) et (2) étant correspondants, le rap- 



np 



port =^ est une simple fonction p. des y,, ou bien p, est une constante C (et 

 Q,- == aQ)), ou bien [j. = xU -h P (et U' = — rj^-g-V Ces cas exceptés, les 



géodésiques de (i) admettent toujours une intégrale du second degré dis- 

 tincte de celles des forces vives. Si même les Q, et les Qj dérivent d'un po- 

 tentiel, les géodésiques de(\) admettent deux telles intégrales : ces deux inté- 

 grales ne se confondent que dans le cas où les trajectoires de (i) et de (2) 

 pour deux valeurs particulières h^ et h'^ des deux constantes des forces 

 vives h et h' coïncident; ce dernier cas se ramène aussitôt à celui où les 

 géodésiques de T et de T' coïncident ('). Il ne peut exister deux tels sys- 

 tèmes ho, h'o et /i|, //, de h, h' sans que la correspondance entre (i) et (2) 

 soit celle de M. Darboux. 



» Ceci nous montre en premier lieu que les seules transformations con- 

 formes 5*, = <p,- des trajectoires sont celles qui changent T en CT et Q, en aQ,, 



ou bien T en (aU -l- 3)T e/ U en — n 5-- Ces transformations sont aussi 



^ ' -' alJ + p 



les seules qui transforment an faisceau quelconque h = /«„ de trajectoires en 

 un faisceau analogue h = /;„. Une telle transformation transforme en eux- 

 mêmes deux iaisceauTi. particuliers h = hf, h := ho qui peuvent d'ailleurs se 

 confondre. 



>> Supposons maintenant que les trajectoires de (i) admettent un groupe 

 continu de transformations y,= 'p, à R paramètres (le groupe ne peut 



(') Quand les géodésiques de T et de T' coïncident, il peut n'eKÏster qu'une seule 

 intégrale du deuxième degré, comme le prouve l'exemple simple 



