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dépendre de fonctions arbitraires). Ce groupe renferme un sous-groupe 

 de transformations conformes à r paramètres (r peut être nul) : à la re- 

 cherche de ces dernières transformations s'appliquent aussitôt les mé- 

 thodes développées par M. Sophus Lie dans ses travaux sur les principes 

 de la Géométrie. L'étude des autres transformations n'entraîne que des 

 équations différentielles linéaires : cela résulte de la forme de la relation 

 entre dt et dt^ et de ce fait que les géodésiques de (i) admettent au moins 

 R — r intégrales du second degré. 



•» Quand les Q, ne dérivent pas d'une fonction de forces, il convient de 

 distinguer les sous-groupes suivants : 



» L Sous-groupe à p, paramètres qui ne change ni T ni les Q,. 



» IL Sous-groupe à p, + s paramètres (s = o, i, ou 2) qui change ï en 

 CT et Q,- en aQ,; ce sous-groupe se décompose lui-même en deux sous- 

 groupes qui correspondent respectivement àC = i etàa = i. Ces deux 

 sous-groupes renferment le groupe L Le groupe II est le sous-groupe con- 

 forme. 



» III. Sous-groupe à (p, -l- p.,) paramètres qui conserve les géodésiques 

 et pour lequel A = û' (A et A' sont les discriminants de ï et de T). Les 

 transformations de ce groupe, qui renferme I, conservent non seulement les 

 trajectoires, mais le mouvement sur les trajectoires. Ce sont les seules qui 

 jouissent de cette propriété. 



» IV. Sous-groupe à (p, -+- p.,-\- s) paramètres qui conserve les géodé- 

 siques et pour lequel A = CA'. 



» V. Sous-groupe à (p, + p., + p3 + e) paramètres qui conserve les géo- 

 désiques. 



» Si p' désigne la différence R — p, — p^. — p, — s, l'intégration de (i) se 

 ramène à celle d'une équation différentielle d'ordre au plus égal à 

 2R — I — R, et cela par l'intermédiaire de quadratures et d'équations 

 linéaires formant des systèmes d'ordre différentiel au plus égal respectivement 

 à p', p,, p, et P3. Si R est au moins égal à 2R — i, les équations (i) s'intè- 

 grent à l'aide de ces systèmes linéaires. Cette classification et ces résul- 

 tats se simplifient quand toutes les forces sont nulles. 



» Quand les Q, dérivent d'un potentiel, il faut mettre en évidence les 

 sous-groupes G dont chaque transformation transforme un faisceau A = A,, 

 en un faisceau analogue A = h'^. Deux cas peuvent se présenter: 1° //„ = K 

 pour toutes les transformations de G; ho est alors un nombre fixe et le 

 groupe G transforme en lui-même un faisceau particulier h = /i„. Il peut 

 exister une infinité de tels sous-groupes, mais ils sont toujours semblables, 



