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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les lois de réciprocités et les sous-groupes 

 du groupe arithmétique. Note de M. X. Stouff, présentée par 

 M. Darboux. 



« 1° On peut définir un sous-groupe R du groupe arithmétique de la 

 manière suivante : 



» Pour qu'une substitution à coefficients entiers réels, de déterminant i, 

 appartienne au groupe R. il faut et il suffit que 



p^o (mod. 9), 



et qu'en prenant, au hasard, un système de deux nombres complexes : 



3(a + èp), c + f/p, 



p' = i, a — i^b — i^c^d — I (mod. 3), 



on ait 



r 3a(a+Z>p)4-p(c+.rfp) 1 _ r3(« + ^>p)1 

 |_3y(« + *p) -)-8(f-f- rfp)J ~ [ c + d? y 



le signe [ — ] est le signe de Legendre-Jacobi, généralisé par Eisenstein 

 pour les restes cubiques. 



» 2° On peut définir un sous-groupe T" du groupe arithmétique de la 

 manière suivante : 



» Pour qu'une substitution S appartienne au groupe r il faut et il suffit 

 que 



oc — i^S^i^p^y (mod. 4). 



et, de plus, qu'en choisissant arbitrairement un système de deux entiers 

 complexes 



2 (a + bi), c + (//, 

 tels que 



a^i, b^i, c^o, d^i (mod. 4). 



on ait 



['2v.(a + bi)-h ?>(c -hdi); 2Y(a + k') + ^(c + di)\ 



= [2{a -\- bi); c -h di], 

 [2y(c + di) -+- 2.a.(a-{- bi); xÇc -h di) + 2[i(a + bi) 

 = [ 2 (a + è/) ; c -\- di'\. 



» Le svmbole 



[ ; ] 



