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AXALYSE MATHÉMATIQUE. — 5m/ In réducùon des intégrales elliptiques. 

 Note fie M. J.-C. Kluïver, préseatée par M. Hermite. 



« La réduction de rintéi;'";de 



dx. 





où ç est une fonction rationnelle, /^iine forme binaire bi([uadratique, exige, 

 suivant les anciennes méthodes, la résolution préalable de l'équation 

 /(^cc') = o. Or, comme on sait, l'introduction de la fonction pde M.Weier- 

 strass, rend inutile cette opérjtion; au contraire, les formules d'inversion 

 telles qu'on les trouve dans l'admirable Traité d'Halphen (') expriment 

 les racines de /"par les fonctions elliptiques. Toutefois, pour établir ces 

 formules, il faut faire quelques calculs dont on n'aperçoit pas immédiate- 

 ment le but. Je me propose d'obtenir ces formules par une voie différente 

 en m'appuyant sur la substitution de M. Hermite (-). 

 » Posons 



f(x) = û!oa;*+ 4«i^' + 6a.^x- -h f\a^x + a;^a\, 

 \\{x) = ':,{abyalbl, 



F(^)=H/;H], 



g, = ^,{bcY{caY{aby. 

 » D après des relations connues, on aura 



et, si l'on prend z ^ r;» il en résulte 



2 dx dz 



n Voilà en quoi consiste la substitution de M. Ilermile, immédiatement 

 appljcable à toute intégrale delà première espèce. Pour la réduction d'une 

 intégrale quelconque, il faudrait encore résoudre l'équation biquadratique 



(') Traité des fonctions elliptiques, t. I, p. ii8; ou Journal de l'École Poly- 

 technique, p. 171; 1884. 



(-) Journal de Crclle. l. yl, p. 1. 



