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 en X 



» c'est ce que M. Greenhill (') a fait en introduisant les fonctions cj'. 

 On peut trouver cependant les quatre racines a:„, x^, x.,, x^ d'une manière 

 plus élémentaire. A cet effet, prenons 



3 = p(2« + <•'), sj\ z-' -.g:,z~ g,= p'('2ii + r), 



où la constante c a une valeur quelconque. Il s'ensuit 



(ht, j)(2t< -+- r) = — 



» Considérons maintenant la forme biquadralique 



et son hessien 



H, (r) = j^ + iS"^,)-' + 2 -, V + 7^ ^'. 



» Il est évident que les formes /(.r) et /, (j) ont les mêmes invariants 

 que ^2 et g^; donc il sera possible de satisfaire;» l'égalité 



J'(^«-*') = - 7(7) =-77(7) 



X 



'ij' + 



par une substitution linéaire 



telle qu'on a a, [ï^ — ""-i !^i = • • 



» La nouvelle inconnue v se trouve en posant r = ,p(<»), ce qui donne 



p{2u + r) = p(2w). 



» Les racines de cette équation sont 



tp = ± (ff + jc) + /«(.) 4- m <.'>' ; 



on en déduit les quatre valeurs suivantes de r 



Jo = p{.u -1- ^O. r. = P(« + ^') + w, 



De ces expressions on peut conclure que chaque racine x de l'équa- 

 tion (A) est une fonction rationnelle de pu et de p' a, et l'égalité (B) 

 montre que cette fonction n'a que deux pôles. 



(') Proceedings oftlie London Math. Soc. t. XVII, p, 262. 



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