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Riemann. C'est pourquoi, sur le conseil de M. Picard, j'ai cherché à ré- 

 tablir le raisonnement, qui était probablement celui d'Halphen. 



» Soit 6(.r) la somme des logarithmes nombres premiers qui ne dépas- 

 sent pas X. On a 



p désignant les nombres premiers. 

 » D'où, facilement, 



'^,—Mi^^i^^^^ 





» si l'on ordonne cette série sous la forme y]^' la somme des « pre- 



n = l 



miers coefficients est — }(")> en posant 



i(«) = (i(n) + o(n^) + o{n^) + . . .. 



et ce développement est valable pour les valeurs de :; dont la partie réelle 

 est plus grande que i. 

 » Donc 



AB étant nue parallèle à Ov, indéfinie dans les deux sens, et d'abscisse 

 supérieure à i. 



■» Pour évaluer cette intégrale par la méthode de M. Halphen, j'intègre 

 la fonction sous le signe /", le long du contour d'un rectangle ABCD ; BC, 

 AD étant à l'infini, et CD étant à gauche du point i, mais tel que le rec- 

 tangle ne renferme pas d'autre pôle que i , de la fonction sous le signe /. 



» On a 



et, par suite, 



» Je dismaintenantque / et / sontnuUes.C'estlàsansdoutecequiavait 

 arrêté Halphen, car si l'on essaye d'appliquer la méthode qu'il a donnée 

 pour l'intégrale / "— ^ — dz-, on ne sait pas si— ^ [fj(:;') = ^(-)(i — ■^'"') 



