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F étant algébrique et de genre/? en y", y', y. Si l'intégrale de (i) ne prend 

 que n valeurs autour des points critiques mobiles, cette intégrale est une 

 fonction à n déterminations, transcendante ou algébrique, des valeurs 

 To» y'u ^^ y-> y poi"" x=.Xç,. Nous étudions exclusivement le cas où y 

 est une fonction algébrique des constantes r„, y'„. L'intégrale peut alors 

 s'écrire 



(2) .r''+ R„_, [y-, ?, V. (.r)] /'-'+.. .+ Rjy., f^ y, (.r)] = o; 

 les a, p, Y sont trois constantes, liées par une relation algébrique 



(3) ç(«,p.,Y) = o, 



qui entrent rationnellement dans les R, et qui, inversement, s'expriment 

 en fonction rationnelle de y", y', y : a.— p[y",y',y, (^)], etc. Toute 

 intégrale première de cette forme (5 = R[y", y', y, (x)] est une fonction 

 rationnelle de x, [i, y. Si l'on tient compte de F = o, a et fi sont des fonc- 

 tions algébriques de y', y que nous représentons par (a) et (|î). 



» Ceci rappelé, soit n le genre de la surface 9 = o, et soit Q, un des 

 u polynômes adjoints à cette surface, Py un des p polynômes adjoints à 

 F = o. On a 



<fY L <^y àr' (J/ Oy J 



_ X,P.H-X,P, + ...+ X^P„ _ p [/',/, y, (.r)] 



F'., ~~ F'., 



» D autre part, — ; , , f-f -7- est un dernier multiplicateur 



L "y ''y 'lY ''y 

 p 



de (i); il en est donc de même de ^r- L'équation au dernier multiplicateur 



p 



de (i) doit donc admettre ct solutions, linéairement distinctes, de la forme p;-- 

 En exprimant qu'il en est ainsi, on obtient un système d'équations linéaires 

 et homogènes entre les liÇr) et les —■ L'intégrale de ce système doit dé- 

 pendre de cj constantes arbitraires. 



» J'ai déjà établi un théorème analogue pour les équations du premier 

 ordre : dans ce cas, y s'exprime rationnellement à l'aide de deux con- 

 stantes a, p liées par la relation algébrique ç(a, [3) ^ o de genre m'. Si P 

 désigne un des polynômes adjoints de la courbe F[j', j, (a;)] = o, le 



P 

 binôme (dy — y' dx) doit admettre rrr' multiplicateurs de la forme ^7-- 



Inversement, s'il existe q multiplicateurs de cette forme (// ^ 1), l'intégrale 



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