(90) 



est bien de l'espèce étudiée et cî'= q. Quand r/ = i, l'équation s'intègre 



par deux quadratures dont une totale ; si l'intégrale est de l'espèce étudiée 



(ce qui n'a pas lieu nécessairement), cj' est égal à i. 



» Pour les équations du second ordre, cette réciproque est plus com- 



P P' 

 pliquée. Quand il existe q multiplicateurs (^>i) tels que ^^ ^, •••> 



deux cas peuvent se présenter : 



P 



» 1° Les intégrales premières ^ ^h ne se confondent pas toutes entre 



elles. — L'intégrale de (i) est bien alors une fonction algébrique des con- 

 stantes. De plus, la relation 9 = est de genre ti> ^ q; en effet, l'égalité 



P 

 F 





montre que A est une fonction rationnelle de x, p, y. A l'intégrale double 



de première espèce J'fAdxd^ correspond une intégrale de première 



espèce de ç = o. Le genre cj de ç = o est donc au moins égal à q, et, 



comme il ne peut dépasser q, on a cj = q. La surface = n'admet pas 



d'ailleurs une infinité de transformations birationnelles en elle-même. 



L'équation (t) s'intègre algébriquement. 



P 

 » 2" Les intégra/es ^, = h se réduisent à une seule. — L'intégration de (i) 



est ramenée évidemment à celle d'une équation linéaire d'ordre q et à des 

 quadratures. Mais on peut pousser la réduction plus loin et montrer que 

 les coefficients de la relation entre y' , y, obtenue en éliminant y" entre F = o 



P 



e/ ^ = h, dépendent d'une simple équation de Riccati. Cette relation 



G[y',y,(x)Ji] = o 



une fois calculée, on en connaît, par une quadrature logarithmique, un fac- 

 teur intégrant. Mais l'intégrale n'est pas nécessairement de la forme étu- 

 diée : pour qu'il en soit ainsi, de nouvelles conditions sont nécessaires qui 

 permettent de calculer algébriquement la relation G ^ o, équation du pre- 

 mier ordre dont l'intégrale doit correspondre h m' =^ i; la surface 0^0 est 

 bien alors de genre n ^ q, mais admet une transformation birationnelle 

 continue en elle-même. 



» En définitive, cherchons à reconnaître sil' intégrale de (i) est une fonc- 

 tion algébrique des constantes telle que la relation = soit du genre cj plus 

 grand que i. On reconnaît s'il en est ainsi algébriquement (e/ l'intégrale s' ob- 

 tient elle-même algébriquement) ou l'équation s'intégre par deux quadratures. 



