( 9' ) 



» Si ^ = I, on ohlient par une simple quadrature un multiplicateur de 

 (i). Quand l'intégrale de (i) est bien de l'espèce étudiée, on a, dans ce 

 cas, rj ^ I. 



)) Quand ac ne figure pas dans F, on voit aisément que les u multiplica- 



P . 

 teurs de la forme ^r doivent être indépendants de x. Si rs est supposé plus 



grand que i, l'équation se ramène algébriquement à l'équation classique 

 G(y, y) = o. Quand cj = i , comme une intégrale première est de la forme 



P 



C; = a; 4-y'(/, y), l'expression t^ (y"'LY — y' dj') est une différentielle 



exacte. 



» C'est là un résultat obtenu différemment par M. Picard dans le cas où 

 l'intégrale est uniforme. Sur la théorie qu'a donnée M. Picard des inté- 

 grales uniformes, on peut d'ailleurs, même dans le cas où n est nul, cal- 

 quer une théorie des intégrales à n valeurs. 



» Quand F dépend de x, l'hypothèse n = o échappe complètement à la 

 méthode. Mais, dans tous les cas, on sait reconnaître si l'intégrale de (i) ne 

 prend qu'un nombre donné n de râleurs autour des points critiques mobiles 

 (et dépend algébriquement des constantes) : l'équation se ramène alors, 

 dans l'hypothèse la plus défavorable, aux é(]uations linéaires. C'est ce que 

 je montrerai ultérieurement. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — 5^//" les équations différentielles linéaires à 

 coefficients rationnels. Note de M. Helge vo.v Kocii, présentée par 

 M. Poincaré. 



« Il y a, dans la théorie des équations différentielles linéaires, des ques- 

 tions importantes dont on ne connaît pas encore la solution générale. 

 Citons-en, par exemple, les suivantes : 



)) Quelles sont les conditions pour qu'une équation linéaire et homogène, à 

 coefficients rationnels, admette des intégrales uniformes dans le voisinage 

 d'un point singulier donné? 



» Quelles sont les conditions pour quelle admette des intégrales régulières 

 dans le voisinage d'un point singulier donné? 



» En étudiant ces questions à l'aide de déterminants infinis, j'ai été 

 conduit aux résultats que voici. 



)) Soit 



(E) v/y,^v/^^...+ Ky = o 



