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 l'équation considérée; les l* sont des polynômes en x de degré quel- 

 conque p, n'ayant aucun diviseur commun. Un zéro a quelconque de ?„ 

 est un point singulier pour l'équation (E). Développons les P selon les 



puissances de >r — a 



p 



\\=y^k^^{x — aY (v = o, i,...,n) 



et su]>posons, ce qui est évidemment permis, que le premier coefficient 

 non nul du développement de Pg soit égal à un. 



» Ceci posé, on aura le théorème suivant : 



» On peut toujours, par un nombre fini cV opérations arithmétiques, déter- 

 miner n + I entiers : a, a,, ^., ..., ^s,, vérifiant les conditions 



'^,<'^.< ■• • < ^«= y-. 



et \j. fondions entières, à coefficients réels, des paramètres A : G, (A), 

 Ga(A), . . ., G^(A), de telle manière que les relations 



G,(A) = o, G,(A) = o, ..., G,XA) = o 



expriment les conditions nécessaires et suffiisantes pour que l'équation (E) «7- 

 mette s (s^n) intégrales uni/ormes dans le voisinage de x = a. 

 » Quant à la seconde question, on peut y répondre ainsi (') : 

 » Le nombre des intégrales de (E) régulières dans le voisinage de x = a 

 est égal au nombre des racines communes aux équations 



/(p) = o, H,(?) = o, H,(f) = o, .... IIx(p) = o, 



y"(p) désignant une fonction entière rationnelle en ^ facile à former ('), de 

 degré au plus égal à n, dont les coefficients sont des polynômes à coefficients 

 entiers par rapport aux A, et les H(p) étant des fondions entières de p dont les 

 coefficients sont des fonctions entières, à coefficients réels, des A; ces fonc- 

 tions Il(p) peuvent toujours être déterminées au moyen d'un nombre fini d' opé- 

 rations arithmétiques. 



» Ce théorème peut être remplacé par celui-ci : 



» On peut toujours, par un nombre fini d' opérations arithmétiques, déler- 



(') Convenons de dire, avec M. Thomé, qu'une intégrale j)' de (E) est régulière au 

 point «, s'il existe une puissance {x — «)P telle que {a: — «)?/ reste fini pour x z= a. 



(^) L'équation /(p):=o est identique à l'équation déterminante qui, dans les re- 

 cherches de M. Thomé, joue un rôle principal. Si/{p) se réduit à une constante, il 

 n'y a pas d'intégrales régulières; si/{p) est de degré n, ce qui correspond au cas ca- 

 nonique envisagé par M. Fucli>, il y en a n. 



