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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités essentielles des équations 

 différentielles d'ordre supérieur. Note de M. Paul Painlevé, présentée 

 par M. Picard. 



« Je distinguerai, dans cette Note, les points singuliers non algébriques 

 x^ d'une fonction analytique y{x) en points transcendants et en points 

 essentiels, suivant que y tend ou non vers une valeur déterminée quand x 

 vient en x^, sur un chemin quelconque à l'intérieur du domaine où y 

 existe, mais sans tourner autour d'aucun point critique de y. 



» Ceci posé, soit une équation du second ordre algébrique eny" ,y ,y, x 



(i) F(a7, y, v',,y") = o. 



A l'inverse de ce qui se passe, comme je l'ai montré, pour le premier 

 ordre, l'intégrale d'une telle équation admet, en général, des points transcen- 

 dants mobiles {c^\x on sait d'ailleurs étudier); mais c'est la présence pos- 

 sible de points essentiels mobiles, que rien ne met en évidence, qui a arrêté 

 jusqu'ici l'étude des fonctions définies par les équations d'ordre supérieur. 

 Des équations (i) très simples offrent l'exemple de cette singularité. Mais 

 on peut montrer, et c'est là un fait assez inattendu, que, pour une équa- 

 tion (i) prise au hasard, il n'existe pas de points essentiels. 



» En généralisant la méthode que j'ai développée dans le cas beaucoup 

 plus simple du premier ordre, on parvient, en effet, au théorème suivant 



(que j'énonce en supposant qu'on a remplacé y par —7^ pour que j = co 



soit sûrement une valeur ordinaire) : 



» Théorème A. — Soit S(a;,j, j) = o la condition pour qu'une valeur 

 de y" soit infinie oupour que deux valeurs dey" sepermutent. Si l'intégrale 

 de (i) a des points essentiels mobiles, 



» I. Le polynôme S contient un facteur de la forme S, {x,y) , où y figure ; 



» II. L'équation (i), où l'on regarde x comme la fonction, admet, quel 

 que soit x^,, l'intégrale x^^x^; 



» III. Si le point arbitraire Xg est un point essentiel de v(^), en tout poirit x 

 voisin de x^, une au moins des inégalités 



|S,(a;,y)|<£, |-, 

 est vérifiée (e étant choisi aussi petit qu'on veut) 



<^ 



