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» A l'équation (i) il est loisible de substituer le système 



, , dx dy _ d: 



y^) P{x,y,z,T) ~ Q(a.-,7,5,0 ^ 'R{x,y,z,ty 



avec 



¥(x,y,--, t) =o, 



où P, Q, R, F sont des polynômes en x, y, z, t. En admettant qu'on ait 

 fait subira j, z la transformation homograpliique à deux variables la plus 

 générale, le théorème A devient : 



)) Théorème A'. — Soit S(x,y, 3) = o la condition pour que P s'annule 

 ou que deux valeurs de t. se permutent. Quand Cintégrale J'(^), ^(.r) 

 de (2) présente des points essentiels mobiles ; 1° S contient un facteur 



S, (x,y, z) tel que l'expression Q -^ -f- R -~ s' annule avec S, {autrement dit, 



quel que soit x„ les égalités x = x„. S, (Xg,y, z) = o définissent une inté- 

 grale de (2) où X est regardé comme une des fonctions) \ 1° Si l'on pose 



y =: -,Si ^^ u le nouveau système ( 2 >, où l'on regarde u comme la variable, 



admet, quel que soit x^,, l'intégrale a- =:.r„, ^ = o; 3° Si x^ est un point essen- 

 tiel dey(^x), z(^x), en tout point x voisin de x^ on a : soit | S, (x,y, s) | <^ e, 



soit, à la fois, \- et - < e. 



\y ^ 



» Une première conséquence de ces généralités, mais dont la démon- 

 stration est trop compliquée pour trouver place ici, c'est que, //a«^ aucun 

 cas. une intégrale y {x), qui est uniforme ou à n valeurs à l'intérieur d'une 

 certaine aire, ne présente, dans cette aire, de ligne singulière. 



1) Quand les conditions énoncées ne sont pas remplies, l'intégrale 

 de (i) ne peut admettre de points essentiels en dehors des ^oinX.?. fixes 

 X = ^, pour lesquels une valeur de y" est infinie quels que soient y, y' . Si 

 l'intégrale j-(a;) de (i) ne prend que n valeurs autour des points critiques 

 mobiles, elle n'admet, en dehors des points ç, que des singularités algé- 

 briques; elle est algébrique quand il n'existe pas de points ç. 



» Si n ^ I, SI l'équaiion a ses points critiques fixes, les conditions énon- 

 cées sont toujours vérifiées, car elles rentrent dans les conditions pour que 

 l'intégrale soit à apparence uniforme en dehors des points critiques fixes. 

 C'est là un fait remarquable qui a son analogue dans le cas du premier 

 ordre. Mais les conditions T et II du théorème A (ou A') sont loin d'être 

 suffisantes pour qu'il existe des points essentiels mobiles. En étudiant les 

 valeurs x^^, y^, s„ qui annulent S, {x,y, z), on est amené à distinguer deux 

 cas suivant qu'on peut ou non substituer ai y, z des variables y,, 5, telles 



