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 que, pour les valeurs sc^,, j", z" (qui font égales à y„, z^ les fonctions y, z 

 de x, y, s,), les nouvelles équations soient régulières. Dans le premier cas, 

 nous (lirons que la condition T n'est remplie qu'en apparence; dans le 

 second cas, qu'elle est vérifiée intrinsèquement. Les mômes observations 

 s'appliquent à la condition II (ainsi qu'aux points V). Pour qu'il existe des 

 points essentiels mobiles, il faut que les conditions I et II soient toutes deux 

 vérifiées intrinsèquement. 



» Les équations (i) se trouvent ainsi divisées en deux classes : une 

 classe générale et une classe singulière, cette dernière formée de toutes 

 les équations qui satisfont intrinsèquement à chacune des conditions I 

 et IL 



» Plaçons-nous désormais dans l'hypothèse où l'intégrale ne prendrait 

 qu'un nombre 6ni île valeurs autour des points critiques mobiles. Si 

 l'équation (i) est delà classe générale, l'intégrale ^(a;) a ses points essen- 

 tiels fixes; bien plus, on établit que y(x) dépend algébriquement des 

 constantes y„, y'^. D'où, en se reportant àma dernière Communication, ce 

 théorème : Etant donnée une équation (i) delà classe générale, on sait re- 

 connaître si son intégrale ne prend qu'un nombre donné n de valeurs autour 

 des points critiques mobiles : V équation s'intègre alors algébriquement ou par 

 quadratures, ou se ramène à une équation linéaire du troisième ordre. 



» Si l'équation (i) est de la classe singulière, l'intégrale /(r) n'a pas 

 nécessairement de points essentiels mobiles, mais c'est, dans tous les cas, une 

 fonction transcendante des constantes j',,, y\^. J'étudierai dans une autre 

 Communication les équations de cette classe. 



» Les considérations précédentes s'appliquent aussi bien aux équa- 

 tions (i) algébriques en y" , y', y, mais où x figure d'une façon quel- 

 conque. Elles s'étendent aussi aux équations d'ordre quelconque : un sys- 

 tème algébrique de k équations du premier ordre portant sur les fonctions 

 y, , r„, . . .,y/, de x n'admet pas en général de points essentiels mobiles. Il faut 

 que certaines conditions analogues aux conditions I et II soient vérifiées 

 intrinsèquement. Mais si d'importants résultats subsistent quel que soit 

 l'ordre de l'équation, des complications toutes nouvelles surgissent dès le 

 troisième ordre. C'est ainsi que l'intégrale d'une équation du troisième 

 ordre peut, comme on le sait, être uniforme et présenter des lignes singu- 

 lières mobiles ; l'intégrale, dans ce cas, eslnécessuivemenl indéterminée dans 

 le voisinage de ces lignes. 



» J'ajoute que la méthode s'applique partiellement à l'étude des sys- 

 tèmes d'équations où tes variables sont exclusivement réelles. J'ai dû être très 

 bref dans l'exposé de ces généralités qui me semblent de nature à jeter 



