( 366 ) 



une équation linéaire ayant pour coefficients des fonctions de x analytiques 

 et uniformes dans tout le plan. Supposons que ces fonctions aient, outre 

 le point X- = ce, un nombre limité de points singuliers : a,, a.,, ..., a^; 

 d'après un théorème bien connu, les P seront alors de la forme 



|j,=i 



les H désignant des fonctions entières de leurs arguments respectifs. Un 

 problème fondamental dans l'étude de l'équation (i)consiste à déterminer 

 les conditions pour que cette équation admette des intégrales uniformes 

 dans toute l'étendue du plan, et, si de telles intégrales existent, à en obtenir 

 la représentation analytique dans tout le plan. Comme on sait, ce problème 

 n'a été traité jusqu'ici, même en supposant les coefficients rationnels, que 

 dans des cas particuliers. Grâce à la théorie des déterminants infinis on 

 pourra le résoudre dans toute sa généralité. 



» En effet, si l'on considère d'abord le cas de^ = i, le problème se con- 

 fond avec un problème plus simple, celui de la détermination des condi- 

 tions pour qu'il y ait des intégrales uniformes dans le voisinage d'un point 

 donné, problème dont on trouve la solution dans une Note précédente 

 (^Comptes rendus, i6 janvier iBqS). Dans le cas général, si (i) admet une 

 intégrale <p uniforme dans tout le plan, cette intégrale sera nécessairement 

 de la forme 



(3) ?==G(ar)+2G,(^ 



les G désignant des fonctions entières. Si l'on porte celte expression dans 

 l'équation (i), son premier membre devient une fonction 4) de même 

 forme dont les coefficients dépendent linéairement de ceux des G. Dire 

 que cp est une intégrale de (i), cela revient à dire que <I> s'annule identi- 

 quement. On se trouve donc, pour la détermination des coefficients incon- 

 nus, en présence d'un certain systèmes, généralement infini, d'équations 

 linéaires et homogènes. On peut s'arranger de façon que le déterminant A 

 de ce système soit convergent (dans le sens donné à ce mot dans ma Note 

 du 3o janvier ; si P, ^ o, A sera convergent en vertu du critère de M. Poin- 

 caré; si P,<o, en vertu de celui que j'ai donné dans cette Note). Dès 

 lors, il suffit de faire un raisonnement analogue à celui employé dans 

 mon Mémoire {Acta mathematica, t. XVI). L'existence de 1 intégrale ç 



