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 s'exprime par la seule condition : A = o. Pour qu'il y ait un nombre donné 

 P(|357i) d'intégrales uniformes dans tout le plan, il faut et il suffit que A, 

 de même que tous ses mineurs d'ordre 1,2, . . . , p — i soient nuls, ce qui 

 s'exprime par un nombre fini de relations entre les paramètres; dès que 

 ces relations seront vérifiées, la représentation analytique sous la 

 forme (3) des intégrales uniformes correspondantes s'obtiendra immédia- 

 tement. Il ne reste donc qu'à étudier ces relations au point de vue de la 

 théorie des fonctions. Je me borne ici à énoncer les résultats pour le cas 

 où les P sont rationnels. Dans ce cas, les H figurant dans (2) sont des po- 

 lynômes; désignons par A l'ensemble de leurs coefficients et posons, pour 



abréger, = è,;. 



» 0/? peut toujours, par un nombre fini d'opérations arithmétiques, déter- 

 miner n + I entiers : [j., n,, g.,, . . ., t,, vérifiant les conditions 



I = c;, < T. < . . . < G„ = fj., 



et [j. fonctions entières, à coefficients réels, des A, a, b : Lv(A, a, b) de telle 

 manière que les relations 



L,(A,a,b) = 0. L2(A,a,b) = 0, .... L„^(A,a,b) = o 



expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation (i) ad- 

 mette [i([î <7i) intégrales uniformes dans tout le plan. 



)) Supposons ces relations vérifiées de sorte qu'il y ait effectivement 

 p intégrales uniformes ©. Outre a; ^ 00, les a^ sont les seuls points singu- 

 liers que peuvent avoir les cp; ces points sont-ils des pôles ou des points 

 singuliers essentiels? 



» Pour répondre à cette question, désignons par y^(p) ^ o l'équation 

 déterminante de M. Thomé, relative à x ^= a,,; pour que les a,, ne soient 

 que des pôles pour les ©, il faut d'abord que chacune des équations 

 y^(p) = o soit vérifiée par un nombre entier au moins. Supposons que cela 

 ait lieu et désignons par l, le plus petit entier vérifiant f{^) = o. Si 

 /y^o nous poserons, dans (3), G^^o ; si /^ <! o, nous prendrons pour 



Gv ( -; ) un polynôme en de degré — l^. Par là, notre système S 



se réduira à une autre forme; mais, en l'étudiant de plus près, on arrivera 

 à des conditions de même nature que dans le théorème énoncé plus haut. 

 On peut donc toujours trouver les conditions nécessaires et suffisantes 

 pour qu'il v ait [î intégrales méromorphcs dans tout le plan. 



